Analysis Beispiele

$(1 + x) (y d) x + (1 - y) x d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $(1 + x) y d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$(1 - y) x d y = - (1 + x) y d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} ((1 - y) x) d y = \frac{1}{x y} (- (1 + x) y) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x y$ heraus.

$\frac{1}{x (y)} ((1 - y) x) d y = \frac{1}{x y} (- (1 + x) y) d x$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $x$ aus $(1 - y) x$ heraus.

$\frac{1}{x (y)} (x (1 - y)) d y = \frac{1}{x y} (- (1 + x) y) d x$

Schritt 3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x y} (x (1 - y)) d y = \frac{1}{x y} (- (1 + x) y) d x$

Schritt 3.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} (1 - y) d y = \frac{1}{x y} (- (1 + x) y) d x$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{y}$ mit $1 - y$ .

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{1}{x y} (- (1 + x) y) d x$

Schritt 3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1 - y}{y} d y = - \frac{1}{x y} ((1 + x) y) d x$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x y}$ in den Zähler.

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{x y} ((1 + x) y) d x$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere $y$ aus $x y$ heraus.

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{y x} ((1 + x) y) d x$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $y$ aus $(1 + x) y$ heraus.

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{y x} (y (1 + x)) d x$

Schritt 3.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{y x} (y (1 + x)) d x$

Schritt 3.4.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{x} (1 + x) d x$

Schritt 3.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1 - y}{y} d y = - \frac{1}{x} (1 + x) d x$

Schritt 3.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 - y}{y} d y = (- \frac{1}{x} \cdot 1 - \frac{1}{x} x) d x$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - y}{y} d y = (- \frac{1}{x} - \frac{1}{x} x) d x$

Schritt 3.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.8.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x}$ in den Zähler.

$\frac{1 - y}{y} d y = (- \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x} x) d x$

Schritt 3.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 - y}{y} d y = (- \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x} x) d x$

Schritt 3.8.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 - y}{y} d y = (- \frac{1}{x} - 1) d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1 - y}{y} d y = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

Schritt 4.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$\int \frac{1}{y} + \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

Schritt 4.2.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

Schritt 4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

Schritt 4.2.3.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int - 1 d y = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

Schritt 4.2.4

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int - 1 d y = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

Schritt 4.2.5

Wende die Konstantenregel an.

$\ln (| y |) + C_{1} - y + C_{2} = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

Schritt 4.2.6

Vereinfache.

$\ln (| y |) - y + C_{3} = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

Schritt 4.2.7

Stelle die Terme um.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x + \int - 1 d x$

Schritt 4.3.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{1}{x} d x + \int - 1 d x$

Schritt 4.3.3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (\ln (| x |) + C_{4}) + \int - 1 d x$

Schritt 4.3.4

Wende die Konstantenregel an.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (\ln (| x |) + C_{4}) - x + C_{5}$

Schritt 4.3.5

Vereinfache.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \ln (| x |) - x + C_{6}$

Schritt 4.3.6

Stelle die Terme um.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - x - \ln (| x |) + C_{6}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- y + \ln (| y |) = - x - \ln (| x |) + C$