Analysis Beispiele

$x (y d) x + (x + 1) d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $x y d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$(x + 1) d y = - x y d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{(x + 1) y}$ .

$\frac{1}{(x + 1) y} (x + 1) d y = \frac{1}{(x + 1) y} (- x y) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $x + 1$ aus $(x + 1) y$ heraus.

$\frac{1}{(x + 1) (y)} (x + 1) d y = \frac{1}{(x + 1) y} (- x y) d x$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{(x + 1) y} (x + 1) d y = \frac{1}{(x + 1) y} (- x y) d x$

Schritt 3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(x + 1) y} (- x y) d x$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{(x + 1) y} (x y) d x$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{(x + 1) y}$ in den Zähler.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{(x + 1) y} (x y) d x$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $y$ aus $(x + 1) y$ heraus.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (x + 1)} (x y) d x$

Schritt 3.3.3

Faktorisiere $y$ aus $x y$ heraus.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (x + 1)} (y x) d x$

Schritt 3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (x + 1)} (y x) d x$

Schritt 3.3.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{x + 1} x d x$

Schritt 3.4

Kombiniere $\frac{- 1}{x + 1}$ und $x$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- x}{x + 1} d x$

Schritt 3.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x}{x + 1} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{x}{x + 1} d x$

Schritt 4.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{x}{x + 1} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{x}{x + 1} d x$

Schritt 4.3.2

Dividiere $x$ durch $x + 1$ .

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Schritt 4.3.2.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Schritt 4.3.2.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Schritt 4.3.2.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

Schritt 4.3.2.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x + 1$

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

Schritt 4.3.2.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

Schritt 4.3.2.6

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

Schritt 4.3.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\int d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

Schritt 4.3.4

Wende die Konstantenregel an.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (x + C_{2} + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

Schritt 4.3.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (x + C_{2} - \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Schritt 4.3.6

Sei $u = x + 1$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.3.6.1

Es sei $u = x + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.3.6.1.1

Differenziere $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 4.3.6.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.3.6.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.3.6.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 4.3.6.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 4.3.6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (x + C_{2} - \int \frac{1}{u} d u)$

Schritt 4.3.7

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (x + C_{2} - (\ln (| u |) + C_{3}))$

Schritt 4.3.8

Vereinfache.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (x - \ln (| u |)) + C_{4}$

Schritt 4.3.9

Ersetze alle $u$ durch $x + 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (x - \ln (| x + 1 |)) + C_{4}$

Schritt 4.3.10

Vereinfache.

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Schritt 4.3.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| y |) + C_{1} = - x - - \ln (| x + 1 |) + C_{4}$

Schritt 4.3.10.2

Multipliziere $- - \ln (| x + 1 |)$ .

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Schritt 4.3.10.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - x + 1 \ln (| x + 1 |) + C_{4}$

Schritt 4.3.10.2.2

Mutltipliziere $\ln (| x + 1 |)$ mit $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - x + \ln (| x + 1 |) + C_{4}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = - x + \ln (| x + 1 |) + C$

Schritt 5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| y |) - \ln (| x + 1 |) = - x + C$

Schritt 5.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| x + 1 |}) = - x + C$

Schritt 5.3

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| x + 1 |})} = e^{- x + C}$

Schritt 5.4

Schreibe $\ln (\frac{| y |}{| x + 1 |}) = - x + C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- x + C} = \frac{| y |}{| x + 1 |}$

Schritt 5.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.5.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{| y |}{| x + 1 |} = e^{- x + C}$ um.

$\frac{| y |}{| x + 1 |} = e^{- x + C}$

Schritt 5.5.2

Multipliziere beide Seiten mit $| x + 1 |$ .

$\frac{| y |}{| x + 1 |} | x + 1 | = e^{- x + C} | x + 1 |$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $| x + 1 |$ .

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Schritt 5.5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{| y |}{| x + 1 |} | x + 1 | = e^{- x + C} | x + 1 |$

Schritt 5.5.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$| y | = e^{- x + C} | x + 1 |$

Schritt 5.5.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.5.4.1

Stelle die Faktoren in $e^{- x + C} | x + 1 |$ um.

$| y | = | x + 1 | e^{- x + C}$

Schritt 5.5.4.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | x + 1 | e^{- x + C}$

Schritt 6

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 6.1

Schreibe $e^{- x + C}$ als $e^{- x} e^{C}$ um.

$y = \pm | x + 1 | (e^{- x} e^{C})$

Schritt 6.2

Stelle $e^{- x}$ und $e^{C}$ um.

$y = \pm | x + 1 | (e^{C} e^{- x})$

Schritt 6.3

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C | x + 1 | e^{- x}$