Analysis Beispiele

$25 \frac{d T}{d t} + T = 80 e^{- 0.04 t}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d T}{d t} + M (t) T = Q (t)$ um.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $25 \frac{d T}{d t} + T = 80 e^{- 0.04 t}$ durch $25$ .

$\frac{25 \frac{d T}{d t}}{25} + \frac{T}{25} = \frac{80 e^{- 0.04 t}}{25}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $25$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{25 \frac{d T}{d t}}{25} + \frac{T}{25} = \frac{80 e^{- 0.04 t}}{25}$

Schritt 1.2.2

Dividiere $\frac{d T}{d t}$ durch $1$ .

$\frac{d T}{d t} + \frac{T}{25} = \frac{80 e^{- 0.04 t}}{25}$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $80$ und $25$ .

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $5$ aus $80 e^{- 0.04 t}$ heraus.

$\frac{d T}{d t} + \frac{T}{25} = \frac{5 (16 e^{- 0.04 t})}{25}$

Schritt 1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.2.1

Faktorisiere $5$ aus $25$ heraus.

$\frac{d T}{d t} + \frac{T}{25} = \frac{5 (16 e^{- 0.04 t})}{5 (5)}$

Schritt 1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d T}{d t} + \frac{T}{25} = \frac{5 (16 e^{- 0.04 t})}{5 \cdot 5}$

Schritt 1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d T}{d t} + \frac{T}{25} = \frac{16 e^{- 0.04 t}}{5}$

Schritt 1.4

Stelle die Terme um.

$\frac{d T}{d t} + \frac{1}{25} T = \frac{16}{5} e^{- 0.04 t}$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (t) d t}$ , wobei $P (t) = \frac{1}{25}$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{1}{25} d t}$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{\frac{1}{25} t + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{\frac{1}{25} t}$

Schritt 2.4

Kombiniere $\frac{1}{25}$ und $t$ .

$e^{\frac{t}{25}}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{\frac{t}{25}}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{\frac{t}{25}}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + e^{\frac{t}{25}} (\frac{1}{25} T) = e^{\frac{t}{25}} (\frac{16}{5} e^{- 0.04 t})$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{1}{25} e^{\frac{t}{25}} T = e^{\frac{t}{25}} (\frac{16}{5} e^{- 0.04 t})$

Schritt 3.2.2

Kombiniere $\frac{1}{25}$ und $e^{\frac{t}{25}}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}}}{25} T = e^{\frac{t}{25}} (\frac{16}{5} e^{- 0.04 t})$

Schritt 3.2.3

Kombiniere $\frac{e^{\frac{t}{25}}}{25}$ und $T$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = e^{\frac{t}{25}} (\frac{16}{5} e^{- 0.04 t})$

Schritt 3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{t}{25}} e^{- 0.04 t}$

Schritt 3.4

Multipliziere $e^{\frac{t}{25}}$ mit $e^{- 0.04 t}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.1

Bewege $e^{- 0.04 t}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} (e^{- 0.04 t} e^{\frac{t}{25}})$

Schritt 3.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{- 0.04 t + \frac{t}{25}}$

Schritt 3.4.3

Um $- 0.04 t$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{25}{25}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{- 0.04 t \cdot \frac{25}{25} + \frac{t}{25}}$

Schritt 3.4.4

Kombiniere $- 0.04 t$ und $\frac{25}{25}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{- 0.04 t \cdot 25}{25} + \frac{t}{25}}$

Schritt 3.4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{- 0.04 t \cdot 25 + t}{25}}$

Schritt 3.4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.6.1

Faktorisiere $t$ aus $- 0.04 t \cdot 25 + t$ heraus.

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Schritt 3.4.6.1.1

Faktorisiere $t$ aus $- 0.04 t \cdot 25$ heraus.

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{t (- 0.04 \cdot 25) + t}{25}}$

Schritt 3.4.6.1.2

Potenziere $t$ mit $1$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{t (- 0.04 \cdot 25) + t^{1}}{25}}$

Schritt 3.4.6.1.3

Faktorisiere $t$ aus $t^{1}$ heraus.

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{t (- 0.04 \cdot 25) + t \cdot 1}{25}}$

Schritt 3.4.6.1.4

Faktorisiere $t$ aus $t (- 0.04 \cdot 25) + t \cdot 1$ heraus.

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{t (- 0.04 \cdot 25 + 1)}{25}}$

Schritt 3.4.6.2

Mutltipliziere $- 0.04$ mit $25$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{t (- 1 + 1)}{25}}$

Schritt 3.4.6.3

Addiere $- 1$ und $1$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{t \cdot 0}{25}}$

Schritt 3.4.7

Mutltipliziere $t$ mit $0$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{0}{25}}$

Schritt 3.4.8

Dividiere $0$ durch $25$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{0}$

Schritt 3.5

Vereinfache $\frac{16}{5} e^{0}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5}$

Schritt 3.6

Stelle die Faktoren in $e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5}$ um.

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{T e^{\frac{t}{25}}}{25} = \frac{16}{5}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{25}} T] = \frac{16}{5}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{25}} T] d t = \int \frac{16}{5} d t$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$e^{\frac{t}{25}} T = \int \frac{16}{5} d t$

Schritt 7

Wende die Konstantenregel an.

$e^{\frac{t}{25}} T = \frac{16}{5} t + C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $e^{\frac{t}{25}} T = \frac{16}{5} t + C$ durch $e^{\frac{t}{25}}$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{\frac{t}{25}} T = \frac{16}{5} t + C$ durch $e^{\frac{t}{25}}$ .

$\frac{e^{\frac{t}{25}} T}{e^{\frac{t}{25}}} = \frac{\frac{16}{5} t}{e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{\frac{t}{25}}$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{\frac{t}{25}} T}{e^{\frac{t}{25}}} = \frac{\frac{16}{5} t}{e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $T$ durch $1$ .

$T = \frac{\frac{16}{5} t}{e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.3.1.1

Kombiniere $\frac{16}{5}$ und $t$ .

$T = \frac{\frac{16 t}{5}}{e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$

Schritt 8.3.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$T = \frac{16 t}{5} \cdot \frac{1}{e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$

Schritt 8.3.1.3

Kombinieren.

$T = \frac{16 t \cdot 1}{5 e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$

Schritt 8.3.1.4

Mutltipliziere $16$ mit $1$ .

$T = \frac{16 t}{5 e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$