Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = x^{3} - 3$

Schritt 1

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = \frac{1}{x}$ gilt.

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Schritt 1.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 1.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Schritt 1.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{\ln (x)}$

Schritt 1.4

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$x$

Schritt 2

Multipliziere jeden Ausdruck mit $x$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x (\frac{1}{x} y) = x \cdot x^{3} + x \cdot - 3$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $y$ .

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \cdot x^{3} + x \cdot - 3$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \cdot x^{3} + x \cdot - 3$

Schritt 2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x \frac{d y}{d x} + y = x \cdot x^{3} + x \cdot - 3$

Schritt 2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere $x$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{3}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = x^{1} x^{3} + x \cdot - 3$

Schritt 2.3.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x \frac{d y}{d x} + y = x^{1 + 3} + x \cdot - 3$

Schritt 2.3.1.2

Addiere $1$ und $3$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = x^{4} + x \cdot - 3$

Schritt 2.3.2

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = x^{4} - 3 x$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [x y] = x^{4} - 3 x$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int x^{4} - 3 x d x$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$x y = \int x^{4} - 3 x d x$

Schritt 6

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$x y = \int x^{4} d x + \int - 3 x d x$

Schritt 6.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$x y = \frac{1}{5} x^{5} + C + \int - 3 x d x$

Schritt 6.3

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 3$ aus dem Integral.

$x y = \frac{1}{5} x^{5} + C - 3 \int x d x$

Schritt 6.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x y = \frac{1}{5} x^{5} + C - 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 6.5

Vereinfache.

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Schritt 6.5.1

Vereinfache.

$x y = \frac{1}{5} x^{5} - 3 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Schritt 6.5.2

Vereinfache.

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Schritt 6.5.2.1

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{2}$ .

$x y = \frac{1}{5} x^{5} + \frac{- 3}{2} x^{2} + C$

Schritt 6.5.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{3}{2} x^{2} + C$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $x y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{3}{2} x^{2} + C$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $x y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{3}{2} x^{2} + C$ durch $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{5}$ und $x$ .

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Schritt 7.3.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $\frac{1}{5} x^{5}$ heraus.

$y = \frac{x (\frac{1}{5} x^{4})}{x} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 7.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.3.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y = \frac{x (\frac{1}{5} x^{4})}{x^{1}} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 7.3.1.1.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$y = \frac{x (\frac{1}{5} x^{4})}{x \cdot 1} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 7.3.1.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x (\frac{1}{5} x^{4})}{x \cdot 1} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 7.3.1.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\frac{1}{5} x^{4}}{1} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 7.3.1.1.2.5

Dividiere $\frac{1}{5} x^{4}$ durch $1$ .

$y = \frac{1}{5} x^{4} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 7.3.1.2

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $x^{4}$ .

$y = \frac{x^{4}}{5} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 7.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 7.3.1.3.1

Faktorisiere $x$ aus $- \frac{3}{2} x^{2}$ heraus.

$y = \frac{x^{4}}{5} + \frac{x (- \frac{3}{2} x)}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 7.3.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.3.1.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{5} + \frac{x (- \frac{3}{2} x)}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

Schritt 7.3.1.3.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$y = \frac{x^{4}}{5} + \frac{x (- \frac{3}{2} x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Schritt 7.3.1.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x^{4}}{5} + \frac{x (- \frac{3}{2} x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Schritt 7.3.1.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{x^{4}}{5} + \frac{- \frac{3}{2} x}{1} + \frac{C}{x}$

Schritt 7.3.1.3.2.5

Dividiere $- \frac{3}{2} x$ durch $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{5} - \frac{3}{2} x + \frac{C}{x}$

Schritt 7.3.1.4

Kombiniere $x$ und $\frac{3}{2}$ .

$y = \frac{x^{4}}{5} - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{C}{x}$

Schritt 7.3.1.5

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = \frac{x^{4}}{5} - \frac{3 x}{2} + \frac{C}{x}$