Analysis Beispiele

$(\cos (y) + 2) \frac{d y}{d x} = 2 x$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$(\cos (y) + 2) d y = 2 x d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \cos (y) + 2 d y = \int 2 x d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \cos (y) d y + \int 2 d y = \int 2 x d x$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\cos (y)$ nach $y$ ist $\sin (y)$ .

$\sin (y) + C_{1} + \int 2 d y = \int 2 x d x$

Schritt 2.2.3

Wende die Konstantenregel an.

$\sin (y) + C_{1} + 2 y + C_{2} = \int 2 x d x$

Schritt 2.2.4

Vereinfache.

$\sin (y) + 2 y + C_{3} = \int 2 x d x$

Schritt 2.2.5

Stelle die Terme um.

$2 y + \sin (y) + C_{3} = \int 2 x d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 y + \sin (y) + C_{3} = 2 \int x d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 y + \sin (y) + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$ als $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$ um.

$2 y + \sin (y) + C_{3} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$2 y + \sin (y) + C_{3} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 y + \sin (y) + C_{3} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$2 y + \sin (y) + C_{3} = 1 x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.3.2.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$2 y + \sin (y) + C_{3} = x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$2 y + \sin (y) = x^{2} + K$