Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{3}}{e^{x}}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} \cdot \frac{y^{3}}{e^{x}}$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Kombinieren.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 y^{3}}{y^{3} e^{x}}$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{3}$ .

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 y^{3}}{y^{3} e^{x}}$

Schritt 1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{x}}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y^{3}} d y = \frac{1}{e^{x}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y^{3}} d y = \int \frac{1}{e^{x}} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.1.1

Bringe $y^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(y^{3})}^{- 1} d y = \int \frac{1}{e^{x}} d x$

Schritt 2.2.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{3 \cdot - 1} d y = \int \frac{1}{e^{x}} d x$

Schritt 2.2.1.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\int y^{- 3} d y = \int \frac{1}{e^{x}} d x$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{- 3}$ nach $y$ gleich $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1} = \int \frac{1}{e^{x}} d x$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.2.3.1

Schreibe $- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1}$ als $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1}$ um.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{e^{x}} d x$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{y^{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y^{2} \cdot 2} + C_{1} = \int \frac{1}{e^{x}} d x$

Schritt 2.2.3.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{e^{x}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.1.1

Kehre das Vorzeichen des Exponenten von $e^{x}$ um und ziehe es aus dem Nenner heraus.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int 1 {(e^{x})}^{- 1} d x$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{x})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.1.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int 1 e^{x \cdot - 1} d x$

Schritt 2.3.1.2.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int 1 e^{- 1 \cdot x} d x$

Schritt 2.3.1.2.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int 1 e^{- x} d x$

Schritt 2.3.1.2.2

Mutltipliziere $e^{- x}$ mit $1$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int e^{- x} d x$

Schritt 2.3.2

Sei $u = - x$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.2.1

Es sei $u = - x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Differenziere $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.3.2.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 2.3.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int - e^{u} d u$

Schritt 2.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = - \int e^{u} d u$

Schritt 2.3.4

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = - (e^{u} + C_{2})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = - e^{u} + C_{2}$

Schritt 2.3.6

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = - e^{- x} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$- \frac{1}{2 y^{2}} = - e^{- x} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$2 y^{2}, 1, 1$

Schritt 3.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$2 y^{2}$

Schritt 3.2

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{2 y^{2}} = - e^{- x} + K$ mit $2 y^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{2 y^{2}} = - e^{- x} + K$ mit $2 y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = - e^{- x} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 y^{2}$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2 y^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = - e^{- x} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Schritt 3.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = - e^{- x} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Schritt 3.2.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 = - e^{- x} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 1 = - 1 \cdot 2 e^{- x} y^{2} + K (2 y^{2})$

Schritt 3.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 1 = - 2 e^{- x} y^{2} + K (2 y^{2})$

Schritt 3.2.3.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 1 = - 2 e^{- x} y^{2} + 2 K y^{2}$

Schritt 3.2.3.2

Stelle die Faktoren in $- 2 e^{- x} y^{2} + 2 K y^{2}$ um.

$- 1 = - 2 y^{2} e^{- x} + 2 K y^{2}$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $- 2 y^{2} e^{- x} + 2 K y^{2} = - 1$ um.

$- 2 y^{2} e^{- x} + 2 K y^{2} = - 1$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $2 y^{2}$ aus $- 2 y^{2} e^{- x} + 2 K y^{2}$ heraus.

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Schritt 3.3.2.1

Faktorisiere $2 y^{2}$ aus $- 2 y^{2} e^{- x}$ heraus.

$2 y^{2} (- 1 e^{- x}) + 2 K y^{2} = - 1$

Schritt 3.3.2.2

Faktorisiere $2 y^{2}$ aus $2 K y^{2}$ heraus.

$2 y^{2} (- 1 e^{- x}) + 2 y^{2} K = - 1$

Schritt 3.3.2.3

Faktorisiere $2 y^{2}$ aus $2 y^{2} (- 1 e^{- x}) + 2 y^{2} K$ heraus.

$2 y^{2} (- 1 e^{- x} + K) = - 1$

Schritt 3.3.3

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$2 y^{2} (- e^{- x} + K) = - 1$

Schritt 3.3.4

Teile jeden Ausdruck in $2 y^{2} (- e^{- x} + K) = - 1$ durch $2 (- e^{- x} + K)$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y^{2} (- e^{- x} + K) = - 1$ durch $2 (- e^{- x} + K)$ .

$\frac{2 y^{2} (- e^{- x} + K)}{2 (- e^{- x} + K)} = \frac{- 1}{2 (- e^{- x} + K)}$

Schritt 3.3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y^{2} (- e^{- x} + K)}{2 (- e^{- x} + K)} = \frac{- 1}{2 (- e^{- x} + K)}$

Schritt 3.3.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{2} (- e^{- x} + K)}{- e^{- x} + K} = \frac{- 1}{2 (- e^{- x} + K)}$

Schritt 3.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- e^{- x} + K$ .

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Schritt 3.3.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2} (- e^{- x} + K)}{- e^{- x} + K} = \frac{- 1}{2 (- e^{- x} + K)}$

Schritt 3.3.4.2.2.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{- 1}{2 (- e^{- x} + K)}$

Schritt 3.3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{2} = - \frac{1}{2 (- e^{- x} + K)}$

Schritt 3.3.4.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- e^{- x}$ heraus.

$y^{2} = - \frac{1}{2 (- (e^{- x}) + K)}$

Schritt 3.3.4.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $K$ heraus.

$y^{2} = - \frac{1}{2 (- (e^{- x}) - 1 (- K))}$

Schritt 3.3.4.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (e^{- x}) - 1 (- K)$ heraus.

$y^{2} = - \frac{1}{2 (- (e^{- x} - K))}$

Schritt 3.3.4.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.4.3.5.1

Schreibe $- (e^{- x} - K)$ als $- 1 (e^{- x} - K)$ um.

$y^{2} = - \frac{1}{2 (- 1 (e^{- x} - K))}$

Schritt 3.3.4.3.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{2} = - - \frac{1}{2 (e^{- x} - K)}$

Schritt 3.3.4.3.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y^{2} = 1 \frac{1}{2 (e^{- x} - K)}$

Schritt 3.3.4.3.5.4

Mutltipliziere $\frac{1}{2 (e^{- x} - K)}$ mit $1$ .

$y^{2} = \frac{1}{2 (e^{- x} - K)}$

Schritt 3.3.5

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{\frac{1}{2 (e^{- x} - K)}}$

Schritt 3.3.6

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{2 (e^{- x} - K)}}$ .

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Schritt 3.3.6.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{2 (e^{- x} - K)}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}$

Schritt 3.3.6.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$y = \pm \frac{1}{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}$

Schritt 3.3.6.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}$ mit $\frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}$ .

$y = \pm \frac{1}{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}} \cdot \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}$

Schritt 3.3.6.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.3.6.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}$ mit $\frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{\sqrt{2 (e^{- x} - K)} \sqrt{2 (e^{- x} - K)}}$

Schritt 3.3.6.4.2

Potenziere $\sqrt{2 (e^{- x} - K)}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}^{1} \sqrt{2 (e^{- x} - K)}}$

Schritt 3.3.6.4.3

Potenziere $\sqrt{2 (e^{- x} - K)}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}^{1} {\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}^{1}}$

Schritt 3.3.6.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.3.6.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}^{2}}$

Schritt 3.3.6.4.6

Schreibe ${\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}^{2}$ als $2 (e^{- x} - K)$ um.

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Schritt 3.3.6.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 (e^{- x} - K)}$ als ${(2 (e^{- x} - K))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{{({(2 (e^{- x} - K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.3.6.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{{(2 (e^{- x} - K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.3.6.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{{(2 (e^{- x} - K))}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.3.6.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.6.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{{(2 (e^{- x} - K))}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.3.6.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{{(2 (e^{- x} - K))}^{1}}$

Schritt 3.3.6.4.6.5

Vereinfache.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{2 (e^{- x} - K)}$

Schritt 3.3.7

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.3.7.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{2 (e^{- x} - K)}$

Schritt 3.3.7.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{2 (e^{- x} - K)}$

Schritt 3.3.7.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{2 (e^{- x} - K)}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{2 (e^{- x} - K)}$

$y = \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{2 (e^{- x} - K)}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{2 (e^{- x} - K)}$

$y = \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{2 (e^{- x} - K)}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{2 (e^{- x} - K)}$

$y = \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{2 (e^{- x} - K)}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{2 (e^{- x} - K)}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\sqrt{2 (e^{- x} + K)}}{2 (e^{- x} + K)}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (e^{- x} + K)}}{2 (e^{- x} + K)}$