Analysis Beispiele

$(x^{2} + 2 x y) d y = y^{2} d x$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung so um, dass sie der Technik der exakten Differentialgleichung entspricht.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $y^{2} d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$(x^{2} + 2 x y) d y - y^{2} d x = 0$

Schritt 1.2

Forme um.

$- y^{2} d x + (x^{2} + 2 x y) d y = 0$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = - y^{2}$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Schritt 2.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y^{2}$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 y)$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y$

Schritt 3

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x^{2} + 2 x y$ .

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Schritt 3.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x y]$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 2 x y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $2 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x y$ nach $x$ gleich $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 y \cdot 1$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 y$

Schritt 4

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 4.1

Setze $- 2 y$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $2 x + 2 y$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$- 2 y = 2 x + 2 y$

Schritt 4.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$- 2 y = 2 x + 2 y$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 5

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Schritt 5.1

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $- 2 y$ .

$\frac{- 2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Schritt 5.2

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $2 x + 2 y$ .

$\frac{- 2 y - (2 x + 2 y)}{N}$

Schritt 5.3

Ersetze $N$ durch $x^{2} + 2 x y$ .

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Schritt 5.3.1

Ersetze $N$ durch $x^{2} + 2 x y$ .

$\frac{- 2 y - (2 x + 2 y)}{x^{2} + 2 x y}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 2 y - (2 x) - (2 y)}{x^{2} + 2 x y}$

Schritt 5.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{- 2 y - 2 x - (2 y)}{x^{2} + 2 x y}$

Schritt 5.3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{- 2 y - 2 x - 2 y}{x^{2} + 2 x y}$

Schritt 5.3.2.4

Subtrahiere $2 y$ von $- 2 y$ .

$\frac{- 2 x - 4 y}{x^{2} + 2 x y}$

Schritt 5.3.2.5

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x - 4 y$ heraus.

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Schritt 5.3.2.5.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{2 (- x) - 4 y}{x^{2} + 2 x y}$

Schritt 5.3.2.5.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4 y$ heraus.

$\frac{2 (- x) + 2 (- 2 y)}{x^{2} + 2 x y}$

Schritt 5.3.2.5.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- x) + 2 (- 2 y)$ heraus.

$\frac{2 (- x - 2 y)}{x^{2} + 2 x y}$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} + 2 x y$ heraus.

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Schritt 5.3.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{2 (- x - 2 y)}{x \cdot x + 2 x y}$

Schritt 5.3.3.2

Faktorisiere $x$ aus $2 x y$ heraus.

$\frac{2 (- x - 2 y)}{x \cdot x + x (2 y)}$

Schritt 5.3.3.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x (2 y)$ heraus.

$\frac{2 (- x - 2 y)}{x (x + 2 y)}$

Schritt 5.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- x - 2 y$ und $x + 2 y$ .

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Schritt 5.3.4.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{2 (- (x) - 2 y)}{x (x + 2 y)}$

Schritt 5.3.4.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 y$ heraus.

$\frac{2 (- (x) - (2 y))}{x (x + 2 y)}$

Schritt 5.3.4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - (2 y)$ heraus.

$\frac{2 (- (x + 2 y))}{x (x + 2 y)}$

Schritt 5.3.4.4

Schreibe $- (x + 2 y)$ als $- 1 (x + 2 y)$ um.

$\frac{2 (- 1 (x + 2 y))}{x (x + 2 y)}$

Schritt 5.3.4.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- 1 (x + 2 y))}{x (x + 2 y)}$

Schritt 5.3.4.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \cdot (- 1)}{x}$

Schritt 5.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{- 2}{x}$

Schritt 5.3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{x}$

Schritt 5.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Schritt 6

Berechne das Integral $e^{\int - \frac{2}{x} d x}$ .

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Schritt 6.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Schritt 6.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 6.4

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 6.5

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| x |)} + C$

Schritt 6.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.6.1

Vereinfache $- 2 \ln (| x |)$ , indem du $- 2$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 2})} + C$

Schritt 6.6.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 2} + C$

Schritt 6.6.3

Entferne den Absolutwert in ${| x |}^{- 2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$μ (x, y) = x^{- 2} + C$

Schritt 6.6.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{2}} + C$

Schritt 7

Multipliziere beide Seiten von $- y^{2} d x + (x^{2} + 2 x y) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $\frac{1}{x^{2}}$ .

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- y^{2}$ mit $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- y^{2} \frac{1}{x^{2}} d x + (x^{2} + 2 x y) d y = 0$

Schritt 7.2

Kombiniere $\frac{1}{x^{2}}$ und $y^{2}$ .

$- \frac{y^{2}}{x^{2}} d x + (x^{2} + 2 x y) d y = 0$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $x^{2} + 2 x y$ mit $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{y^{2}}{x^{2}} d x + (x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Schritt 7.4

Mutltipliziere $x^{2} + 2 x y$ mit $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{y^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x^{2} + 2 x y}{x^{2}} d y = 0$

Schritt 7.5

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} + 2 x y$ heraus.

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Schritt 7.5.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$- \frac{y^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x \cdot x + 2 x y}{x^{2}} d y = 0$

Schritt 7.5.2

Faktorisiere $x$ aus $2 x y$ heraus.

$- \frac{y^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x \cdot x + x (2 y)}{x^{2}} d y = 0$

Schritt 7.5.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x (2 y)$ heraus.

$- \frac{y^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x (x + 2 y)}{x^{2}} d y = 0$

Schritt 7.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.6.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$- \frac{y^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x (x + 2 y)}{x \cdot x} d y = 0$

Schritt 7.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{y^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x (x + 2 y)}{x \cdot x} d y = 0$

Schritt 7.6.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{y^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x + 2 y}{x} d y = 0$

Schritt 8

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - \frac{y^{2}}{x^{2}} d x$

Schritt 9

Integriere $M (x, y) = - \frac{y^{2}}{x^{2}}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 9.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$f (x, y) = - \int \frac{y^{2}}{x^{2}} d x$

Schritt 9.2

Da $y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $y^{2}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = - (y^{2} \int \frac{1}{x^{2}} d x)$

Schritt 9.3

Entferne die Klammern.

$f (x, y) = - y^{2} \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 9.4

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$f (x, y) = - y^{2} \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 9.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 9.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = - y^{2} \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 9.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f (x, y) = - y^{2} \int x^{- 2} d x$

Schritt 9.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$f (x, y) = - y^{2} (- x^{- 1} + C)$

Schritt 9.7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.7.1

Schreibe $- y^{2} (- x^{- 1} + C)$ als $- y^{2} (- \frac{1}{x}) + C$ um.

$f (x, y) = - y^{2} (- \frac{1}{x}) + C$

Schritt 9.7.2

Vereinfache.

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Schritt 9.7.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (x, y) = 1 y^{2} \frac{1}{x} + C$

Schritt 9.7.2.2

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$f (x, y) = y^{2} \frac{1}{x} + C$

Schritt 9.7.2.3

Kombiniere $y^{2}$ und $\frac{1}{x}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{x} + C$

Schritt 10

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{x} + g (y)$

Schritt 11

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x + 2 y}{x}$

Schritt 12

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 12.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{x} + g (y)] = \frac{x + 2 y}{x}$

Schritt 12.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{y^{2}}{x} + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 2 y}{x}$

Schritt 12.3

Berechne $\frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{x}]$ .

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Schritt 12.3.1

Da $\frac{1}{x}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{y^{2}}{x}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 2 y}{x}$

Schritt 12.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{x} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 2 y}{x}$

Schritt 12.3.3

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2}{x} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 2 y}{x}$

Schritt 12.3.4

Kombiniere $\frac{2}{x}$ und $y$ .

$\frac{2 y}{x} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 2 y}{x}$

Schritt 12.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$\frac{2 y}{x} + \frac{d g}{d y} = \frac{x + 2 y}{x}$

Schritt 12.5

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} + \frac{2 y}{x} = \frac{x + 2 y}{x}$

Schritt 13

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 13.1

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 13.1.1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 13.1.1.1

Subtrahiere $\frac{x + 2 y}{x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} + \frac{2 y}{x} - \frac{x + 2 y}{x} = 0$

Schritt 13.1.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d g}{d y} + \frac{2 y - (x + 2 y)}{x} = 0$

Schritt 13.1.1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d g}{d y} + \frac{2 y - x - (2 y)}{x} = 0$

Schritt 13.1.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{2 y - x - 2 y}{x} = 0$

Schritt 13.1.1.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 y - x - 2 y$ .

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Schritt 13.1.1.4.1

Subtrahiere $2 y$ von $2 y$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x + 0}{x} = 0$

Schritt 13.1.1.4.2

Addiere $- x$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x}{x} = 0$

Schritt 13.1.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 13.1.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x}{x} = 0$

Schritt 13.1.1.5.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$\frac{d g}{d y} - 1 = 0$

Schritt 13.1.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = 1$

Schritt 14

Bestimme die Stammfunktion von $1$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 14.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = 1$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int d y$

Schritt 14.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int d y$

Schritt 14.3

Wende die Konstantenregel an.

$g (y) = y + C$

Schritt 15

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = \frac{y^{2}}{x} + g (y)$ ein.

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{x} + y + C$