Analysis Beispiele

$3 \frac{d y}{d x} - 3 e^{x} = 9 x^{2}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Löse nach $\frac{d y}{d x}$ auf.

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Schritt 1.1.1

Addiere $3 e^{x}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 \frac{d y}{d x} = 9 x^{2} + 3 e^{x}$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $3 \frac{d y}{d x} = 9 x^{2} + 3 e^{x}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 \frac{d y}{d x} = 9 x^{2} + 3 e^{x}$ durch $3$ .

$\frac{3 \frac{d y}{d x}}{3} = \frac{9 x^{2}}{3} + \frac{3 e^{x}}{3}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \frac{d y}{d x}}{3} = \frac{9 x^{2}}{3} + \frac{3 e^{x}}{3}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{9 x^{2}}{3} + \frac{3 e^{x}}{3}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9$ und $3$ .

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Schritt 1.1.2.3.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $9 x^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 (3 x^{2})}{3} + \frac{3 e^{x}}{3}$

Schritt 1.1.2.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.3.1.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 (3 x^{2})}{3 (1)} + \frac{3 e^{x}}{3}$

Schritt 1.1.2.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 (3 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{3 e^{x}}{3}$

Schritt 1.1.2.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{1} + \frac{3 e^{x}}{3}$

Schritt 1.1.2.3.1.1.2.4

Dividiere $3 x^{2}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} + \frac{3 e^{x}}{3}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.1.2.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} + \frac{3 e^{x}}{3}$

Schritt 1.1.2.3.1.2.2

Dividiere $e^{x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} + e^{x}$

Schritt 1.2

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (3 x^{2} + e^{x}) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int 3 x^{2} + e^{x} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int 3 x^{2} + e^{x} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int 3 x^{2} d x + \int e^{x} d x$

Schritt 2.3.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 3 \int x^{2} d x + \int e^{x} d x$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int e^{x} d x$

Schritt 2.3.4

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$y + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + e^{x} + C_{3}$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$y + C_{1} = 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) + e^{x} + C_{3}$

Schritt 2.3.5.2

Vereinfache.

$y + C_{1} = x^{3} + e^{x} + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = x^{3} + e^{x} + K$