Analysis Beispiele

$x d y = y (x e^{2 x} + 1) d x$

Schritt 1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (y (x e^{2 x} + 1)) d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x y$ heraus.

$\frac{1}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} (y (x e^{2 x} + 1)) d x$

Schritt 2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (y (x e^{2 x} + 1)) d x$

Schritt 2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{x y} (y (x e^{2 x} + 1)) d x$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $y$ aus $x y$ heraus.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y x} (y (x e^{2 x} + 1)) d x$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y x} (y (x e^{2 x} + 1)) d x$

Schritt 2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{x} (x e^{2 x} + 1) d x$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $x e^{2 x} + 1$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{x e^{2 x} + 1}{x} d x$

Schritt 3

Integriere beide Seiten.

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Schritt 3.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x e^{2 x} + 1}{x} d x$

Schritt 3.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x e^{2 x} + 1}{x} d x$

Schritt 3.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x e^{2 x}}{x} + \frac{1}{x} d x$

Schritt 3.3.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x e^{2 x}}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x e^{2 x}}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 3.3.3.2

Dividiere $e^{2 x}$ durch $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int e^{2 x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 3.3.4

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.3.4.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.3.4.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 3.3.4.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 3.3.4.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 3.3.4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{2} d u + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 3.3.5

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{2} d u + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 3.3.6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int e^{u} d u + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 3.3.7

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 3.3.8

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) + \ln (| x |) + C_{3}$

Schritt 3.3.9

Vereinfache.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} e^{u} + \ln (| x |) + C_{4}$

Schritt 3.3.10

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} e^{2 x} + \ln (| x |) + C_{4}$

Schritt 3.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = \frac{1}{2} e^{2 x} + \ln (| x |) + C$

Schritt 4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$\ln (| y |) = \frac{e^{2 x}}{2} + \ln (| x |) + C$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| y |) - \ln (| x |) = \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Schritt 4.3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| x |}) = \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Schritt 4.4

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| x |})} = e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C}$

Schritt 4.5

Schreibe $\ln (\frac{| y |}{| x |}) = \frac{e^{2 x}}{2} + C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C} = \frac{| y |}{| x |}$

Schritt 4.6

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.6.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{| y |}{| x |} = e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C}$ um.

$\frac{| y |}{| x |} = e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C}$

Schritt 4.6.2

Multipliziere beide Seiten mit $| x |$ .

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C} | x |$

Schritt 4.6.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.6.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $| x |$ .

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Schritt 4.6.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C} | x |$

Schritt 4.6.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$| y | = e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C} | x |$

Schritt 4.6.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.6.4.1

Stelle die Faktoren in $e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C} | x |$ um.

$| y | = | x | e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C}$

Schritt 4.6.4.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | x | e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C}$

Schritt 5

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 5.1

Schreibe $e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C}$ als $e^{\frac{e^{2 x}}{2}} e^{C}$ um.

$y = \pm | x | (e^{\frac{e^{2 x}}{2}} e^{C})$

Schritt 5.2

Stelle $e^{\frac{e^{2 x}}{2}}$ und $e^{C}$ um.

$y = \pm | x | (e^{C} e^{\frac{e^{2 x}}{2}})$

Schritt 5.3

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C | x | e^{\frac{e^{2 x}}{2}}$