Analysis Beispiele

$x (y^{2} - 1) d x - y (x^{2} - 1) d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $x (y^{2} - 1) d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y (x^{2} - 1) d y = - x (y^{2} - 1) d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)}$ .

$\frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (- y (x^{2} - 1)) d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (- x (y^{2} - 1)) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (y (x^{2} - 1)) d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (- x (y^{2} - 1)) d x$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} - 1$ .

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Schritt 3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (y (x^{2} - 1)) d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (- x (y^{2} - 1)) d x$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $x^{2} - 1$ aus $y (x^{2} - 1)$ heraus.

$\frac{- 1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} ((x^{2} - 1) y) d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (- x (y^{2} - 1)) d x$

Schritt 3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} ((x^{2} - 1) y) d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (- x (y^{2} - 1)) d x$

Schritt 3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{y^{2} - 1} y d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (- x (y^{2} - 1)) d x$

Schritt 3.3

Kombiniere $\frac{- 1}{y^{2} - 1}$ und $y$ .

$\frac{- y}{y^{2} - 1} d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (- x (y^{2} - 1)) d x$

Schritt 3.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{- y}{y^{2} - 1^{2}} d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (- x (y^{2} - 1)) d x$

Schritt 3.4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = y$ und $b = 1$ .

$\frac{- y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (- x (y^{2} - 1)) d x$

Schritt 3.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (- x (y^{2} - 1)) d x$

Schritt 3.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = - \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (x (y^{2} - 1)) d x$

Schritt 3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2} - 1$ .

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Schritt 3.7.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)}$ in den Zähler.

$- \frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- 1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (x (y^{2} - 1)) d x$

Schritt 3.7.2

Faktorisiere $y^{2} - 1$ aus $(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)$ heraus.

$- \frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- 1}{(y^{2} - 1) (x^{2} - 1)} (x (y^{2} - 1)) d x$

Schritt 3.7.3

Faktorisiere $y^{2} - 1$ aus $x (y^{2} - 1)$ heraus.

$- \frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- 1}{(y^{2} - 1) (x^{2} - 1)} ((y^{2} - 1) x) d x$

Schritt 3.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- 1}{(y^{2} - 1) (x^{2} - 1)} ((y^{2} - 1) x) d x$

Schritt 3.7.5

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- 1}{x^{2} - 1} x d x$

Schritt 3.8

Kombiniere $\frac{- 1}{x^{2} - 1}$ und $x$ .

$- \frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- x}{x^{2} - 1} d x$

Schritt 3.9

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.9.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$- \frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- x}{x^{2} - 1^{2}} d x$

Schritt 3.9.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$- \frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Schritt 3.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = - \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int - \frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \int - \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Schritt 4.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \int - \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Schritt 4.2.2

Sei $u_{1} = (y + 1) (y - 1)$ . Dann ist $d u_{1} = 2 y d y$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 4.2.2.1

Es sei $u_{1} = (y + 1) (y - 1)$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Differenziere $(y + 1) (y - 1)$ .

$\frac{d}{d y} [(y + 1) (y - 1)]$

Schritt 4.2.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = y + 1$ und $g (y) = y - 1$ .

$(y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1] + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Schritt 4.2.2.1.3

Differenziere.

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Schritt 4.2.2.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y - 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$(y + 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Schritt 4.2.2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(y + 1) (1 + \frac{d}{d y} [- 1]) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Schritt 4.2.2.1.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$(y + 1) (1 + 0) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Schritt 4.2.2.1.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.2.1.3.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$(y + 1) \cdot 1 + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Schritt 4.2.2.1.3.4.2

Mutltipliziere $y + 1$ mit $1$ .

$y + 1 + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Schritt 4.2.2.1.3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y + 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$y + 1 + (y - 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1])$

Schritt 4.2.2.1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$y + 1 + (y - 1) (1 + \frac{d}{d y} [1])$

Schritt 4.2.2.1.3.7

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$y + 1 + (y - 1) (1 + 0)$

Schritt 4.2.2.1.3.8

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 4.2.2.1.3.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$y + 1 + (y - 1) \cdot 1$

Schritt 4.2.2.1.3.8.2

Mutltipliziere $y - 1$ mit $1$ .

$y + 1 + y - 1$

Schritt 4.2.2.1.3.8.3

Addiere $y$ und $y$ .

$2 y + 1 - 1$

Schritt 4.2.2.1.3.8.4

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 4.2.2.1.3.8.4.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$2 y + 0$

Schritt 4.2.2.1.3.8.4.2

Addiere $2 y$ und $0$ .

$2 y$

Schritt 4.2.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$- \int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int - \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Schritt 4.2.3

Vereinfache.

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Schritt 4.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{1}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int - \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Schritt 4.2.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u_{1}$ .

$- \int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Schritt 4.2.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) = \int - \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Schritt 4.2.5

Das Integral von $\frac{1}{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $\ln (| u_{1} |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Schritt 4.2.6

Vereinfache.

$- \frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Schritt 4.2.7

Ersetze alle $u_{1}$ durch $(y + 1) (y - 1)$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = \int - \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Schritt 4.3.2

Sei $u_{2} = (x + 1) (x - 1)$ . Dann ist $d u_{2} = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 4.3.2.1

Es sei $u_{2} = (x + 1) (x - 1)$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Differenziere $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]$

Schritt 4.3.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x + 1$ und $g (x) = x - 1$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 4.3.2.1.3

Differenziere.

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Schritt 4.3.2.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 4.3.2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 4.3.2.1.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 4.3.2.1.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.2.1.3.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$(x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 4.3.2.1.3.4.2

Mutltipliziere $x + 1$ mit $1$ .

$x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 4.3.2.1.3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 4.3.2.1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 4.3.2.1.3.7

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x + 1 + (x - 1) (1 + 0)$

Schritt 4.3.2.1.3.8

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 4.3.2.1.3.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$x + 1 + (x - 1) \cdot 1$

Schritt 4.3.2.1.3.8.2

Mutltipliziere $x - 1$ mit $1$ .

$x + 1 + x - 1$

Schritt 4.3.2.1.3.8.3

Addiere $x$ und $x$ .

$2 x + 1 - 1$

Schritt 4.3.2.1.3.8.4

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 4.3.2.1.3.8.4.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$2 x + 0$

Schritt 4.3.2.1.3.8.4.2

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 4.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$- \frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Schritt 4.3.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u_{2}$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Schritt 4.3.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 4.3.5

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Schritt 4.3.6

Vereinfache.

$- \frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Schritt 4.3.7

Ersetze alle $u_{2}$ durch $(x + 1) (x - 1)$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- \frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) = - \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C$

Schritt 5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |)) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Schritt 5.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache $- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |))$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Multipliziere $(y + 1) (y - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.1.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| y (y - 1) + 1 (y - 1) |)) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Schritt 5.2.1.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 (y - 1) |)) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Schritt 5.2.1.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Schritt 5.2.1.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.2.1.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1.2.1.1

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| y^{2} + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Schritt 5.2.1.1.2.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $y$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| y^{2} - 1 \cdot y + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Schritt 5.2.1.1.2.1.3

Schreibe $- 1 y$ als $- y$ um.

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| y^{2} - y + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Schritt 5.2.1.1.2.1.4

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| y^{2} - y + y + 1 \cdot - 1 |)) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Schritt 5.2.1.1.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| y^{2} - y + y - 1 |)) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Schritt 5.2.1.1.2.2

Addiere $- y$ und $y$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 0 - 1 |)) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Schritt 5.2.1.1.2.3

Addiere $y^{2}$ und $0$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| y^{2} - 1 |)) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Schritt 5.2.1.1.3

Kombiniere $\ln (| y^{2} - 1 |)$ und $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (| y^{2} - 1 |)}{2}) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Schritt 5.2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.1.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\ln (| y^{2} - 1 |)}{2}$ in den Zähler.

$- 2 \frac{- \ln (| y^{2} - 1 |)}{2} = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Schritt 5.2.1.1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$2 (- 1) \frac{- \ln (| y^{2} - 1 |)}{2} = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Schritt 5.2.1.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot - 1 \frac{- \ln (| y^{2} - 1 |)}{2} = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Schritt 5.2.1.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$- - \ln (| y^{2} - 1 |) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Schritt 5.2.1.1.5

Multipliziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \ln (| y^{2} - 1 |) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Schritt 5.2.1.1.5.2

Mutltipliziere $\ln (| y^{2} - 1 |)$ mit $1$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1

Vereinfache $- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1.1.1

Multipliziere $(x + 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x (x - 1) + 1 (x - 1) |) + C)$

Schritt 5.2.2.1.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) |) + C)$

Schritt 5.2.2.1.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |) + C)$

Schritt 5.2.2.1.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.2.2.1.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1.1.2.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |) + C)$

Schritt 5.2.2.1.1.2.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 |) + C)$

Schritt 5.2.2.1.1.2.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 |) + C)$

Schritt 5.2.2.1.1.2.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 |) + C)$

Schritt 5.2.2.1.1.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} - x + x - 1 |) + C)$

Schritt 5.2.2.1.1.2.2

Addiere $- x$ und $x$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 0 - 1 |) + C)$

Schritt 5.2.2.1.1.2.3

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} - 1 |) + C)$

Schritt 5.2.2.1.1.3

Kombiniere $\ln (| x^{2} - 1 |)$ und $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = - 2 (- \frac{\ln (| x^{2} - 1 |)}{2} + C)$

Schritt 5.2.2.1.2

Um $C$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = - 2 (- \frac{\ln (| x^{2} - 1 |)}{2} + C \cdot \frac{2}{2})$

Schritt 5.2.2.1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.2.1.3.1

Kombiniere $C$ und $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = - 2 (- \frac{\ln (| x^{2} - 1 |)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2})$

Schritt 5.2.2.1.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = - 2 \frac{- \ln (| x^{2} - 1 |) + C \cdot 2}{2}$

Schritt 5.2.2.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.2.1.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- 1) \frac{- \ln (| x^{2} - 1 |) + C \cdot 2}{2}$

Schritt 5.2.2.1.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 \cdot - 1 \frac{- \ln (| x^{2} - 1 |) + C \cdot 2}{2}$

Schritt 5.2.2.1.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = - (- \ln (| x^{2} - 1 |) + C \cdot 2)$

Schritt 5.2.2.1.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $C$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = - (- \ln (| x^{2} - 1 |) + 2 C)$

Schritt 5.2.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = - - \ln (| x^{2} - 1 |) - (2 C)$

Schritt 5.2.2.1.6

Multipliziere $- - \ln (| x^{2} - 1 |)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 1 \ln (| x^{2} - 1 |) - (2 C)$

Schritt 5.2.2.1.6.2

Mutltipliziere $\ln (| x^{2} - 1 |)$ mit $1$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = \ln (| x^{2} - 1 |) - (2 C)$

Schritt 5.2.2.1.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = \ln (| x^{2} - 1 |) - 2 C$

Schritt 5.3

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| y^{2} - 1 |) - \ln (| x^{2} - 1 |) = - 2 C$

Schritt 5.4

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y^{2} - 1 |}{| x^{2} - 1 |}) = - 2 C$

Schritt 5.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.5.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\ln (\frac{| y^{2} - 1^{2} |}{| x^{2} - 1 |}) = - 2 C$

Schritt 5.5.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = y$ und $b = 1$ .

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} - 1 |}) = - 2 C$

Schritt 5.5.3

Multipliziere $(y + 1) (y - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.5.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (\frac{| y (y - 1) + 1 (y - 1) |}{| x^{2} - 1 |}) = - 2 C$

Schritt 5.5.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (\frac{| y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 (y - 1) |}{| x^{2} - 1 |}) = - 2 C$

Schritt 5.5.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (\frac{| y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 |}{| x^{2} - 1 |}) = - 2 C$

Schritt 5.5.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.5.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.4.1.1

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\ln (\frac{| y^{2} + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 |}{| x^{2} - 1 |}) = - 2 C$

Schritt 5.5.4.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $y$ .

$\ln (\frac{| y^{2} - 1 \cdot y + 1 y + 1 \cdot - 1 |}{| x^{2} - 1 |}) = - 2 C$

Schritt 5.5.4.1.3

Schreibe $- 1 y$ als $- y$ um.

$\ln (\frac{| y^{2} - y + 1 y + 1 \cdot - 1 |}{| x^{2} - 1 |}) = - 2 C$

Schritt 5.5.4.1.4

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\ln (\frac{| y^{2} - y + y + 1 \cdot - 1 |}{| x^{2} - 1 |}) = - 2 C$

Schritt 5.5.4.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\ln (\frac{| y^{2} - y + y - 1 |}{| x^{2} - 1 |}) = - 2 C$

Schritt 5.5.4.2

Addiere $- y$ und $y$ .

$\ln (\frac{| y^{2} + 0 - 1 |}{| x^{2} - 1 |}) = - 2 C$

Schritt 5.5.4.3

Addiere $y^{2}$ und $0$ .

$\ln (\frac{| y^{2} - 1 |}{| x^{2} - 1 |}) = - 2 C$

Schritt 5.5.5

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\ln (\frac{| y^{2} - 1^{2} |}{| x^{2} - 1 |}) = - 2 C$

Schritt 5.5.6

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = y$ und $b = 1$ .

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} - 1 |}) = - 2 C$

Schritt 5.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.6.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} - 1^{2} |}) = - 2 C$

Schritt 5.6.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| (x + 1) (x - 1) |}) = - 2 C$

Schritt 5.6.3

Multipliziere $(x + 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x (x - 1) + 1 (x - 1) |}) = - 2 C$

Schritt 5.6.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) |}) = - 2 C$

Schritt 5.6.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |}) = - 2 C$

Schritt 5.6.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.6.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.6.4.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |}) = - 2 C$

Schritt 5.6.4.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 |}) = - 2 C$

Schritt 5.6.4.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 |}) = - 2 C$

Schritt 5.6.4.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 |}) = - 2 C$

Schritt 5.6.4.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} - x + x - 1 |}) = - 2 C$

Schritt 5.6.4.2

Addiere $- x$ und $x$ .

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} + 0 - 1 |}) = - 2 C$

Schritt 5.6.4.3

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} - 1 |}) = - 2 C$

Schritt 5.6.5

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} - 1^{2} |}) = - 2 C$

Schritt 5.6.6

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| (x + 1) (x - 1) |}) = - 2 C$

Schritt 5.7

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| (x + 1) (x - 1) |})} = e^{- 2 C}$

Schritt 5.8

Schreibe $\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| (x + 1) (x - 1) |}) = - 2 C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- 2 C} = \frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| (x + 1) (x - 1) |}$

Schritt 5.9

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.9.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| (x + 1) (x - 1) |} = e^{- 2 C}$ um.

$\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| (x + 1) (x - 1) |} = e^{- 2 C}$

Schritt 5.9.2

Multipliziere beide Seiten mit $| (x + 1) (x - 1) |$ .

$\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| (x + 1) (x - 1) |} | (x + 1) (x - 1) | = e^{- 2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

Schritt 5.9.3

Vereinfache.

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Schritt 5.9.3.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.9.3.1.1

Vereinfache $\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| (x + 1) (x - 1) |} | (x + 1) (x - 1) |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.9.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $| (x + 1) (x - 1) |$ .

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Schritt 5.9.3.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| (x + 1) (x - 1) |} | (x + 1) (x - 1) | = e^{- 2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

Schritt 5.9.3.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$| (y + 1) (y - 1) | = e^{- 2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

Schritt 5.9.3.1.1.2

Multipliziere $(y + 1) (y - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.9.3.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$| y (y - 1) + 1 (y - 1) | = e^{- 2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

Schritt 5.9.3.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$| y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 (y - 1) | = e^{- 2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

Schritt 5.9.3.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$| y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 | = e^{- 2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

Schritt 5.9.3.1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.9.3.1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.9.3.1.1.3.1.1

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$| y^{2} + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 | = e^{- 2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

Schritt 5.9.3.1.1.3.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $y$ .

$| y^{2} - 1 \cdot y + 1 y + 1 \cdot - 1 | = e^{- 2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

Schritt 5.9.3.1.1.3.1.3

Schreibe $- 1 y$ als $- y$ um.

$| y^{2} - y + 1 y + 1 \cdot - 1 | = e^{- 2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

Schritt 5.9.3.1.1.3.1.4

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$| y^{2} - y + y + 1 \cdot - 1 | = e^{- 2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

Schritt 5.9.3.1.1.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$| y^{2} - y + y - 1 | = e^{- 2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

Schritt 5.9.3.1.1.3.2

Addiere $- y$ und $y$ .

$| y^{2} + 0 - 1 | = e^{- 2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

Schritt 5.9.3.1.1.3.3

Addiere $y^{2}$ und $0$ .

$| y^{2} - 1 | = e^{- 2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

Schritt 5.9.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.9.3.2.1

Vereinfache $e^{- 2 C} | (x + 1) (x - 1) |$ .

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Schritt 5.9.3.2.1.1

Multipliziere $(x + 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.9.3.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$| y^{2} - 1 | = e^{- 2 C} | x (x - 1) + 1 (x - 1) |$

Schritt 5.9.3.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$| y^{2} - 1 | = e^{- 2 C} | x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) |$

Schritt 5.9.3.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$| y^{2} - 1 | = e^{- 2 C} | x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |$

Schritt 5.9.3.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.9.3.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.9.3.2.1.2.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$| y^{2} - 1 | = e^{- 2 C} | x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |$

Schritt 5.9.3.2.1.2.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$| y^{2} - 1 | = e^{- 2 C} | x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 |$

Schritt 5.9.3.2.1.2.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$| y^{2} - 1 | = e^{- 2 C} | x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 |$

Schritt 5.9.3.2.1.2.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$| y^{2} - 1 | = e^{- 2 C} | x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 |$

Schritt 5.9.3.2.1.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$| y^{2} - 1 | = e^{- 2 C} | x^{2} - x + x - 1 |$

Schritt 5.9.3.2.1.2.2

Addiere $- x$ und $x$ .

$| y^{2} - 1 | = e^{- 2 C} | x^{2} + 0 - 1 |$

Schritt 5.9.3.2.1.2.3

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$| y^{2} - 1 | = e^{- 2 C} | x^{2} - 1 |$

Schritt 5.9.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.9.4.1

Stelle die Faktoren in $e^{- 2 C} | x^{2} - 1 |$ um.

$| y^{2} - 1 | = | x^{2} - 1 | e^{- 2 C}$

Schritt 5.9.4.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y^{2} - 1 = \pm | x^{2} - 1 | e^{- 2 C}$

Schritt 5.9.4.3

Stelle die Faktoren in $\pm | x^{2} - 1 | e^{- 2 C}$ um.

$y^{2} - 1 = \pm e^{- 2 C} | x^{2} - 1 |$

Schritt 5.9.4.4

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} = \pm e^{- 2 C} | x^{2} - 1 | + 1$

Schritt 5.9.4.5

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{- 2 C} | x^{2} - 1 | + 1}$

Schritt 6

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 6.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \pm \sqrt{\pm C | x^{2} - 1 | + 1}$

Schritt 6.2

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = \pm \sqrt{C | x^{2} - 1 | + 1}$