Analysis Beispiele

$\frac{y d y}{d x} = \frac{2}{3 x^{2}}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Faktoriere $\frac{d y}{d x}$ aus.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{2}{3 x^{2}}$

Schritt 1.2

Schreibe die Gleichung um.

$y d y = \frac{2}{3 x^{2}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y d y = \int \frac{2}{3 x^{2}} d x$

Schritt 2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{2}{3 x^{2}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $\frac{2}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{2}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{3} \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.3.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.3.2.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{3} \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 2.3.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{3} \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 2.3.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{3} \int x^{- 2} d x$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{3} (- x^{- 1} + C_{2})$

Schritt 2.3.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.4.1

Schreibe $\frac{2}{3} (- x^{- 1} + C_{2})$ als $\frac{2}{3} (- \frac{1}{x}) + C_{2}$ um.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{3} (- \frac{1}{x}) + C_{2}$

Schritt 2.3.4.2

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{2}{3 x} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{2}{3 x} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{2}{3 x} + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{2}{3 x} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{2}{3 x} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = 2 (- \frac{2}{3 x} + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $2 (- \frac{2}{3 x} + K)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} = 2 (- \frac{2}{3 x}) + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.2

Multipliziere $2 (- \frac{2}{3 x})$ .

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Schritt 3.2.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y^{2} = - 2 \frac{2}{3 x} + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.2.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{2}{3 x}$ .

$y^{2} = \frac{- 2 \cdot 2}{3 x} + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.2.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$y^{2} = \frac{- 4}{3 x} + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{2} = - \frac{4}{3 x} + 2 K$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{- \frac{4}{3 x} + 2 K}$

Schritt 3.4

Vereinfache $\pm \sqrt{- \frac{4}{3 x} + 2 K}$ .

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- \frac{4}{3 x} + 2 K$ heraus.

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Schritt 3.4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- \frac{4}{3 x}$ heraus.

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{2}{3 x}) + 2 K}$

Schritt 3.4.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2 K$ heraus.

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{2}{3 x}) + 2 K}$

Schritt 3.4.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- \frac{2}{3 x}) + 2 K$ heraus.

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{2}{3 x} + K)}$

Schritt 3.4.2

Um $K$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 x}{3 x}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{2}{3 x} + K \cdot \frac{3 x}{3 x})}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.4.3.1

Kombiniere $K$ und $\frac{3 x}{3 x}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{2}{3 x} + \frac{K (3 x)}{3 x})}$

Schritt 3.4.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{- 2 + K (3 x)}{3 x}}$

Schritt 3.4.4

Bringe $3$ auf die linke Seite von $K$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{- 2 + 3 K x}{3 x}}$

Schritt 3.4.5

Kombiniere $2$ und $\frac{- 2 + 3 K x}{3 x}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (- 2 + 3 K x)}{3 x}}$

Schritt 3.4.6

Schreibe $\sqrt{\frac{2 (- 2 + 3 K x)}{3 x}}$ als $\frac{\sqrt{2 (- 2 + 3 K x)}}{\sqrt{3 x}}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 2 + 3 K x)}}{\sqrt{3 x}}$

Schritt 3.4.7

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2 (- 2 + 3 K x)}}{\sqrt{3 x}}$ mit $\frac{\sqrt{3 x}}{\sqrt{3 x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 2 + 3 K x)}}{\sqrt{3 x}} \cdot \frac{\sqrt{3 x}}{\sqrt{3 x}}$

Schritt 3.4.8

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.8.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2 (- 2 + 3 K x)}}{\sqrt{3 x}}$ mit $\frac{\sqrt{3 x}}{\sqrt{3 x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 2 + 3 K x)} \sqrt{3 x}}{\sqrt{3 x} \sqrt{3 x}}$

Schritt 3.4.8.2

Potenziere $\sqrt{3 x}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 2 + 3 K x)} \sqrt{3 x}}{{\sqrt{3 x}}^{1} \sqrt{3 x}}$

Schritt 3.4.8.3

Potenziere $\sqrt{3 x}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 2 + 3 K x)} \sqrt{3 x}}{{\sqrt{3 x}}^{1} {\sqrt{3 x}}^{1}}$

Schritt 3.4.8.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 2 + 3 K x)} \sqrt{3 x}}{{\sqrt{3 x}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.4.8.5

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 2 + 3 K x)} \sqrt{3 x}}{{\sqrt{3 x}}^{2}}$

Schritt 3.4.8.6

Schreibe ${\sqrt{3 x}}^{2}$ als $3 x$ um.

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Schritt 3.4.8.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 x}$ als ${(3 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 2 + 3 K x)} \sqrt{3 x}}{{({(3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.4.8.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 2 + 3 K x)} \sqrt{3 x}}{{(3 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.4.8.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 2 + 3 K x)} \sqrt{3 x}}{{(3 x)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.4.8.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.8.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 2 + 3 K x)} \sqrt{3 x}}{{(3 x)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.4.8.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 2 + 3 K x)} \sqrt{3 x}}{{(3 x)}^{1}}$

Schritt 3.4.8.6.5

Vereinfache.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 2 + 3 K x)} \sqrt{3 x}}{3 x}$

Schritt 3.4.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.9.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 2 + 3 K x) (3 x)}}{3 x}$

Schritt 3.4.9.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 (- 2 + 3 K x) x}}{3 x}$

Schritt 3.4.10

Stelle die Faktoren in $\pm \frac{\sqrt{6 (- 2 + 3 K x) x}}{3 x}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt{6 x (- 2 + 3 K x)}}{3 x}$

Schritt 3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{\sqrt{6 x (- 2 + 3 K x)}}{3 x}$

Schritt 3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{\sqrt{6 x (- 2 + 3 K x)}}{3 x}$

Schritt 3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{\sqrt{6 x (- 2 + 3 K x)}}{3 x}$

$y = - \frac{\sqrt{6 x (- 2 + 3 K x)}}{3 x}$

$y = \frac{\sqrt{6 x (- 2 + 3 K x)}}{3 x}$

$y = - \frac{\sqrt{6 x (- 2 + 3 K x)}}{3 x}$

$y = \frac{\sqrt{6 x (- 2 + 3 K x)}}{3 x}$

$y = - \frac{\sqrt{6 x (- 2 + 3 K x)}}{3 x}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\sqrt{6 x (- 2 + K x)}}{3 x}$

$y = - \frac{\sqrt{6 x (- 2 + K x)}}{3 x}$