Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = x^{2} e^{4 x}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = x^{2} e^{4 x} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int x^{2} e^{4 x} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int x^{2} e^{4 x} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x^{2}$ und $d v = e^{4 x}$ .

$y + C_{1} = x^{2} (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} (2 x) d x$

Schritt 2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $e^{4 x}$ .

$y + C_{1} = x^{2} \frac{e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} (2 x) d x$

Schritt 2.3.2.2

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{e^{4 x}}{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} (2 x) d x$

Schritt 2.3.3

Da $\frac{1}{4} \cdot 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{4} \cdot 2$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 2 \int e^{4 x} (x) d x)$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

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Schritt 2.3.4.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $2$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - (\frac{2}{4} \int e^{4 x} (x) d x)$

Schritt 2.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 2.3.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - (\frac{2 (1)}{4} \int e^{4 x} (x) d x)$

Schritt 2.3.4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.4.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int e^{4 x} (x) d x)$

Schritt 2.3.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int e^{4 x} (x) d x)$

Schritt 2.3.4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{2} \int e^{4 x} (x) d x)$

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} \int e^{4 x} (x) d x$

Schritt 2.3.5

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{4 x}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (x (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

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Schritt 2.3.6.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $e^{4 x}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (x \frac{e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

Schritt 2.3.6.2

Kombiniere $x$ und $\frac{e^{4 x}}{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

Schritt 2.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $e^{4 x}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \int \frac{e^{4 x}}{4} d x)$

Schritt 2.3.7

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \int e^{4 x} d x))$

Schritt 2.3.8

Sei $u = 4 x$ . Dann ist $d u = 4 d x$ , folglich $\frac{1}{4} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.8.1

Es sei $u = 4 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.8.1.1

Differenziere $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 2.3.8.1.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.8.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Schritt 2.3.8.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4$

Schritt 2.3.8.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int e^{u} \frac{1}{4} d u)$

Schritt 2.3.9

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int \frac{e^{u}}{4} d u)$

Schritt 2.3.10

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int e^{u} d u))$

Schritt 2.3.11

Vereinfache.

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Schritt 2.3.11.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u} d u)$

Schritt 2.3.11.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u} d u)$

Schritt 2.3.12

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C_{2}))$

Schritt 2.3.13

Vereinfache.

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Schritt 2.3.13.1

Schreibe $\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C_{2}))$ als $\frac{1}{4} x^{2} e^{4 x} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C_{2}$ um.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{2} e^{4 x} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C_{2}$

Schritt 2.3.13.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.13.2.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2}}{4} e^{4 x} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C_{2}$

Schritt 2.3.13.2.2

Kombiniere $\frac{x^{2}}{4}$ und $e^{4 x}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C_{2}$

Schritt 2.3.13.2.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x}{4} e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C_{2}$

Schritt 2.3.13.2.4

Kombiniere $\frac{x}{4}$ und $e^{4 x}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{u}) + C_{2}$

Schritt 2.3.13.2.5

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{16}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16}) + C_{2}$

Schritt 2.3.13.2.6

Um $- \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16}) \cdot \frac{4}{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.13.2.7

Kombiniere $- \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16})$ und $\frac{4}{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} + \frac{- \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16}) \cdot 4}{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.13.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16}) \cdot 4}{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.13.2.9

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - 4 (\frac{1}{2}) (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16})}{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.13.2.10

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} + \frac{- 4}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16})}{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.13.2.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

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Schritt 2.3.13.2.11.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} + \frac{2 \cdot - 2}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16})}{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.13.2.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.13.2.11.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16})}{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.13.2.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16})}{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.13.2.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} + \frac{- 2}{1} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16})}{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.13.2.11.2.4

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16})}{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.14

Ersetze alle $u$ durch $4 x$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{4 x}}{16})}{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.15

Vereinfache.

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Schritt 2.3.15.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - 2 \frac{x e^{4 x}}{4} - 2 (- \frac{e^{4 x}}{16})}{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.15.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.15.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} + 2 (- 1) \frac{x e^{4 x}}{4} - 2 (- \frac{e^{4 x}}{16})}{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.15.2.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} + 2 \cdot - 1 \frac{x e^{4 x}}{2 \cdot 2} - 2 (- \frac{e^{4 x}}{16})}{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.15.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} + 2 \cdot - 1 \frac{x e^{4 x}}{2 \cdot 2} - 2 (- \frac{e^{4 x}}{16})}{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.15.2.4

Forme den Ausdruck um.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} - 2 (- \frac{e^{4 x}}{16})}{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.15.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.15.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{e^{4 x}}{16}$ in den Zähler.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} - 2 \frac{- e^{4 x}}{16}}{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.15.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} + 2 (- 1) \frac{- e^{4 x}}{16}}{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.15.3.3

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{4 x}}{2 \cdot 8}}{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.15.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{4 x}}{2 \cdot 8}}{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.15.3.5

Forme den Ausdruck um.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} - \frac{- e^{4 x}}{8}}{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.15.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.15.4.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} - - \frac{e^{4 x}}{8}}{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.15.4.2

Multipliziere $- - \frac{e^{4 x}}{8}$ .

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Schritt 2.3.15.4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} + 1 \frac{e^{4 x}}{8}}{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.15.4.2.2

Mutltipliziere $\frac{e^{4 x}}{8}$ mit $1$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} + \frac{e^{4 x}}{8}}{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.16

Stelle die Terme um.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (x^{2} e^{4 x} - \frac{1}{2} x e^{4 x} + \frac{1}{8} e^{4 x}) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = \frac{1}{4} (x^{2} e^{4 x} - \frac{1}{2} x e^{4 x} + \frac{1}{8} e^{4 x}) + K$