Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \tan (x) \cos^{2} (y)$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\tan (x) \cos^{2} (y))$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos^{2} (y)$ .

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Schritt 1.2.1.1

Faktorisiere $\cos^{2} (y)$ aus $\tan (x) \cos^{2} (y)$ heraus.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\cos^{2} (y) \tan (x))$

Schritt 1.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\cos^{2} (y) \tan (x))$

Schritt 1.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \tan (x)$

Schritt 1.2.2

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 1.2.3

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \tan (x)$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = \tan (x) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = \int \tan (x) d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Wandle von $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ nach $\sec^{2} (y)$ um.

$\int \sec^{2} (y) d y = \int \tan (x) d x$

Schritt 2.2.2

Da die Ableitung von $\tan (y)$ gleich $\sec^{2} (y)$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (y)$ gleich $\tan (y)$ .

$\tan (y) + C_{1} = \int \tan (x) d x$

Schritt 2.3

Das Integral von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\ln (| \sec (x) |)$ .

$\tan (y) + C_{1} = \ln (| \sec (x) |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\tan (y) = \ln (| \sec (x) |) + C$

Schritt 3

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$y = \arctan (\ln (| \sec (x) |) + C)$