Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{3} y = \frac{1}{3} (1 + 3 x) y^{4}$

Schritt 1

Um die Differentialgleichung zu lösen, sei $v = y^{1 - n}$ wo $n$ der Exponent von $y^{4}$ ist.

$v = y^{- 3}$

Schritt 2

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

$y = v^{- \frac{1}{3}}$

Schritt 3

Nimm die Ableitung von $y$ in Gedenken an $x$ .

$y' = v^{- \frac{1}{3}}$

Schritt 4

Nimm die Ableitung von $v^{- \frac{1}{3}}$ in Gedenken an $x$ .

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Schritt 4.1

Nimm die Ableitung von $v^{- \frac{1}{3}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{3}}]$

Schritt 4.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{3}}}]$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 1$ und $g (x) = v^{\frac{1}{3}}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{{(v^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Schritt 4.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{{(v^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Schritt 4.4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(v^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

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Schritt 4.4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

Schritt 4.4.2.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $2$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.4.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.4.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.4.4.1

Mutltipliziere $v^{\frac{1}{3}}$ mit $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.4.4.2

Subtrahiere $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]$ von $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.4.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ und $g (x) = v$ .

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Schritt 4.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $v$ .

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.5.3

Ersetze alle $u$ durch $v$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.9.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.11

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $v^{- \frac{2}{3}}$ .

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.12

Bringe $v^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3 v^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.13

Schreibe $\frac{d}{d x} [v]$ als $v'$ um.

$y' = - \frac{\frac{1}{3 v^{\frac{2}{3}}} v'}{v^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.14

Kombiniere $\frac{1}{3 v^{\frac{2}{3}}}$ und $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}}}{v^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.15

Schreibe $\frac{\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}}}{v^{\frac{2}{3}}}$ als ein Produkt um.

$y' = - (\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{v^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 4.16

Mutltipliziere $\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}}$ mit $\frac{1}{v^{\frac{2}{3}}}$ .

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}} v^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.17

Multipliziere $v^{\frac{2}{3}}$ mit $v^{\frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.17.1

Bewege $v^{\frac{2}{3}}$ .

$y' = - \frac{v'}{3 (v^{\frac{2}{3}} v^{\frac{2}{3}})}$

Schritt 4.17.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

Schritt 4.17.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{2 + 2}{3}}}$

Schritt 4.17.4

Addiere $2$ und $2$ .

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 5

Setze $- \frac{v'}{3 v^{\frac{4}{3}}}$ für $\frac{d y}{d x}$ und $v^{- \frac{1}{3}}$ für $y$ in die ursprüngliche Gleichung $\frac{d y}{d x} + \frac{1}{3} y = \frac{1}{3} (1 + 3 x) y^{4}$ ein.

$- \frac{v'}{3 v^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$

Schritt 6

Löse die substituierte Differentialgleichung.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $M (x) \frac{d v}{d x} + P (x) v = Q (x)$ um.

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Schritt 6.1.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$ mit $- (3 v^{\frac{4}{3}})$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 6.1.1.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$ mit $- (3 v^{\frac{4}{3}})$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Schritt 6.1.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 v^{\frac{4}{3}}$ .

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Schritt 6.1.1.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}}$ in den Zähler.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Schritt 6.1.1.2.1.1.2

Faktorisiere $3 v^{\frac{4}{3}}$ aus $- (3 v^{\frac{4}{3}})$ heraus.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (3 v^{\frac{4}{3}} (- 1)) + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Schritt 6.1.1.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (3 v^{\frac{4}{3}} \cdot - 1) + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Schritt 6.1.1.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Schritt 6.1.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Schritt 6.1.1.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{d v}{d x}$ mit $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Schritt 6.1.1.2.1.4

Multipliziere $v^{- \frac{1}{3}}$ mit $v^{\frac{4}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.1.2.1.4.1

Bewege $v^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} (v^{\frac{4}{3}} v^{- \frac{1}{3}}) (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Schritt 6.1.1.2.1.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v^{\frac{4}{3} - \frac{1}{3}} (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Schritt 6.1.1.2.1.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v^{\frac{4 - 1}{3}} (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Schritt 6.1.1.2.1.4.4

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v^{\frac{3}{3}} (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Schritt 6.1.1.2.1.4.5

Dividiere $3$ durch $3$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v^{1} (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Schritt 6.1.1.2.1.5

Vereinfache $\frac{1}{3} v^{1} (- 1 \cdot (3))$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Schritt 6.1.1.2.1.6

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $v$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{3} (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Schritt 6.1.1.2.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.1.1.2.1.7.1

Faktorisiere $3$ aus $- 1 \cdot (3)$ heraus.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{3} (3 \cdot - 1) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Schritt 6.1.1.2.1.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{3} (3 \cdot - 1) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Schritt 6.1.1.2.1.7.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d v}{d x} + v \cdot - 1 = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Schritt 6.1.1.2.1.8

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $v$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot v = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Schritt 6.1.1.2.1.9

Schreibe $- 1 v$ als $- v$ um.

$\frac{d v}{d x} - v = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Schritt 6.1.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d v}{d x} - v = (\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} (3 x)) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Schritt 6.1.1.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (\frac{1}{3} + \frac{1}{3} (3 x)) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Schritt 6.1.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.1.1.3.3.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{d v}{d x} - v = (\frac{1}{3} + \frac{1}{3} (3 (x))) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Schritt 6.1.1.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d v}{d x} - v = (\frac{1}{3} + \frac{1}{3} (3 x)) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Schritt 6.1.1.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d v}{d x} - v = (\frac{1}{3} + x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Schritt 6.1.1.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.1.1.3.4.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d v}{d x} - v = - 1 \cdot 3 (\frac{1}{3} + x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Schritt 6.1.1.3.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{d v}{d x} - v = - 3 (\frac{1}{3} + x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Schritt 6.1.1.3.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d v}{d x} - v = (- 3 (\frac{1}{3}) - 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Schritt 6.1.1.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.1.1.3.6.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$\frac{d v}{d x} - v = (3 (- 1) \frac{1}{3} - 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Schritt 6.1.1.3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d v}{d x} - v = (3 \cdot - 1 \frac{1}{3} - 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Schritt 6.1.1.3.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 - 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Schritt 6.1.1.3.7

Multipliziere die Exponenten in ${(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$ .

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Schritt 6.1.1.3.7.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 - 3 x) v^{- \frac{1}{3} \cdot 4} v^{\frac{4}{3}}$

Schritt 6.1.1.3.7.2

Multipliziere $- \frac{1}{3} \cdot 4$ .

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Schritt 6.1.1.3.7.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 - 3 x) v^{- 4 (\frac{1}{3})} v^{\frac{4}{3}}$

Schritt 6.1.1.3.7.2.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 - 3 x) v^{\frac{- 4}{3}} v^{\frac{4}{3}}$

Schritt 6.1.1.3.7.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 - 3 x) v^{- \frac{4}{3}} v^{\frac{4}{3}}$

Schritt 6.1.1.3.8

Multipliziere $v^{- \frac{4}{3}}$ mit $v^{\frac{4}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.1.3.8.1

Bewege $v^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 - 3 x) (v^{\frac{4}{3}} v^{- \frac{4}{3}})$

Schritt 6.1.1.3.8.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 - 3 x) v^{\frac{4}{3} - \frac{4}{3}}$

Schritt 6.1.1.3.8.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 - 3 x) v^{\frac{4 - 4}{3}}$

Schritt 6.1.1.3.8.4

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 - 3 x) v^{\frac{0}{3}}$

Schritt 6.1.1.3.8.5

Dividiere $0$ durch $3$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 - 3 x) v^{0}$

Schritt 6.1.1.3.9

Vereinfache $(- 1 - 3 x) v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} - v = - 1 - 3 x$

Schritt 6.1.2

Stelle die Terme um.

$\frac{d v}{d x} - v = - 3 x - 1$

Schritt 6.2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = - 1$ gilt.

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Schritt 6.2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int - 1 d x}$

Schritt 6.2.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{- x + C}$

Schritt 6.2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- x}$

Schritt 6.3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- x}$ .

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Schritt 6.3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d v}{d x} + e^{- x} (- v) = e^{- x} (- 3 x) + e^{- x} \cdot - 1$

Schritt 6.3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = e^{- x} (- 3 x) + e^{- x} \cdot - 1$

Schritt 6.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = - 3 e^{- x} x + e^{- x} \cdot - 1$

Schritt 6.3.3.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = - 3 e^{- x} x - 1 \cdot e^{- x}$

Schritt 6.3.3.3

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = - 3 e^{- x} x - e^{- x}$

Schritt 6.3.4

Stelle die Faktoren in $e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = - 3 e^{- x} x - e^{- x}$ um.

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - v e^{- x} = - 3 x e^{- x} - e^{- x}$

Schritt 6.4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} v] = - 3 x e^{- x} - e^{- x}$

Schritt 6.5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} v] d x = \int - 3 x e^{- x} - e^{- x} d x$

Schritt 6.6

Integriere die linke Seite.

$e^{- x} v = \int - 3 x e^{- x} - e^{- x} d x$

Schritt 6.7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.7.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$e^{- x} v = \int - 3 x e^{- x} d x + \int - e^{- x} d x$

Schritt 6.7.2

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 3$ aus dem Integral.

$e^{- x} v = - 3 \int x e^{- x} d x + \int - e^{- x} d x$

Schritt 6.7.3

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{- x}$ .

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x) + \int - e^{- x} d x$

Schritt 6.7.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x) + \int - e^{- x} d x$

Schritt 6.7.5

Vereinfache.

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Schritt 6.7.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x) + \int - e^{- x} d x$

Schritt 6.7.5.2

Mutltipliziere $\int e^{- x} d x$ mit $1$ .

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x) + \int - e^{- x} d x$

Schritt 6.7.6

Sei $u_{1} = - x$ . Dann ist $d u_{1} = - d x$ , folglich $- d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 6.7.6.1

Es sei $u_{1} = - x$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 6.7.6.1.1

Differenziere $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 6.7.6.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6.7.6.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 6.7.6.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 6.7.6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u_{1}} d u_{1}) + \int - e^{- x} d x$

Schritt 6.7.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int - e^{- x} d x$

Schritt 6.7.8

Das Integral von $e^{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $e^{u_{1}}$ .

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) + \int - e^{- x} d x$

Schritt 6.7.9

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) - \int e^{- x} d x$

Schritt 6.7.10

Sei $u_{2} = - x$ . Dann ist $d u_{2} = - d x$ , folglich $- d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 6.7.10.1

Es sei $u_{2} = - x$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 6.7.10.1.1

Differenziere $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 6.7.10.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6.7.10.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 6.7.10.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 6.7.10.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) - \int - e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 6.7.11

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) - - \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 6.7.12

Vereinfache.

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Schritt 6.7.12.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) + 1 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 6.7.12.2

Mutltipliziere $\int e^{u_{2}} d u_{2}$ mit $1$ .

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) + \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 6.7.13

Das Integral von $e^{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $e^{u_{2}}$ .

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) + e^{u_{2}} + C$

Schritt 6.7.14

Vereinfache.

$e^{- x} v = - 3 (- x e^{- x} - e^{u_{1}}) + e^{u_{2}} + C$

Schritt 6.7.15

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 6.7.15.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $- x$ .

$e^{- x} v = - 3 (- x e^{- x} - e^{- x}) + e^{u_{2}} + C$

Schritt 6.7.15.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- x$ .

$e^{- x} v = - 3 (- x e^{- x} - e^{- x}) + e^{- x} + C$

Schritt 6.8

Teile jeden Ausdruck in $e^{- x} v = - 3 (- x e^{- x} - e^{- x}) + e^{- x} + C$ durch $e^{- x}$ und vereinfache.

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Schritt 6.8.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{- x} v = - 3 (- x e^{- x} - e^{- x}) + e^{- x} + C$ durch $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} v}{e^{- x}} = \frac{- 3 (- x e^{- x} - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Schritt 6.8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- x}$ .

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Schritt 6.8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{- x} v}{e^{- x}} = \frac{- 3 (- x e^{- x} - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Schritt 6.8.2.1.2

Dividiere $v$ durch $1$ .

$v = \frac{- 3 (- x e^{- x} - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Schritt 6.8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.8.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$v = \frac{- 3 (- x e^{- x} - e^{- x}) + e^{- x} + C}{e^{- x}}$

Schritt 6.8.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.8.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$v = \frac{- 3 (- x e^{- x}) - 3 (- e^{- x}) + e^{- x} + C}{e^{- x}}$

Schritt 6.8.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$v = \frac{3 (x e^{- x}) - 3 (- e^{- x}) + e^{- x} + C}{e^{- x}}$

Schritt 6.8.3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$v = \frac{3 x e^{- x} + 3 e^{- x} + e^{- x} + C}{e^{- x}}$

Schritt 6.8.3.3

Addiere $3 e^{- x}$ und $e^{- x}$ .

$v = \frac{3 x e^{- x} + 4 e^{- x} + C}{e^{- x}}$

Schritt 7

Ersetze $v$ durch $y^{- 3}$ .

$y^{- 3} = \frac{3 x e^{- x} + 4 e^{- x} + C}{e^{- x}}$