Analysis Beispiele

$(x + 3 x^{3} \sin (y)) d x + (x^{4} \cos (y)) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = x + 3 x^{3} \sin (y)$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x + 3 x^{3} \sin (y)]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 3 x^{3} \sin (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [3 x^{3} \sin (y)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [3 x^{3} \sin (y)]$

Schritt 1.2.2

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [3 x^{3} \sin (y)]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [3 x^{3} \sin (y)]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $3 x^{3}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{3} \sin (y)$ nach $y$ gleich $3 x^{3} \frac{d}{d y} [\sin (y)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 x^{3} \frac{d}{d y} [\sin (y)]$

Schritt 1.3.2

Die Ableitung von $\sin (y)$ nach $y$ ist $\cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 x^{3} \cos (y)$

Schritt 1.4

Addiere $0$ und $3 x^{3} \cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{3} \cos (y)$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x^{4} \cos (y)$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{4} \cos (y)]$

Schritt 2.2

Da $\cos (y)$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x^{4} \cos (y)$ nach $x$ gleich $\cos (y) \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) (4 x^{3})$

Schritt 2.4

Stelle um.

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Schritt 2.4.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $\cos (y)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 \cdot \cos (y) x^{3}$

Schritt 2.4.2

Stelle die Faktoren von $4 \cos (y) x^{3}$ um.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{3} \cos (y)$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $3 x^{3} \cos (y)$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $4 x^{3} \cos (y)$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$3 x^{3} \cos (y) = 4 x^{3} \cos (y)$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$3 x^{3} \cos (y) = 4 x^{3} \cos (y)$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $3 x^{3} \cos (y)$ .

$\frac{3 x^{3} \cos (y) - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $4 x^{3} \cos (y)$ .

$\frac{3 x^{3} \cos (y) - (4 x^{3} \cos (y))}{N}$

Schritt 4.3

Ersetze $N$ durch $x^{4} \cos (y)$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $N$ durch $x^{4} \cos (y)$ .

$\frac{3 x^{3} \cos (y) - (4 x^{3} \cos (y))}{x^{4} \cos (y)}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere $x^{3} \cos (y)$ aus $3 x^{3} \cos (y) - 1 \cdot 4 x^{3} \cos (y)$ heraus.

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Schritt 4.3.2.1.1

Faktorisiere $x^{3} \cos (y)$ aus $3 x^{3} \cos (y)$ heraus.

$\frac{x^{3} \cos (y) (3) - 1 \cdot 4 x^{3} \cos (y)}{x^{4} \cos (y)}$

Schritt 4.3.2.1.2

Faktorisiere $x^{3} \cos (y)$ aus $- 1 \cdot 4 x^{3} \cos (y)$ heraus.

$\frac{x^{3} \cos (y) (3) + x^{3} \cos (y) (- 1 \cdot 4)}{x^{4} \cos (y)}$

Schritt 4.3.2.1.3

Faktorisiere $x^{3} \cos (y)$ aus $x^{3} \cos (y) (3) + x^{3} \cos (y) (- 1 \cdot 4)$ heraus.

$\frac{x^{3} \cos (y) (3 - 1 \cdot 4)}{x^{4} \cos (y)}$

Schritt 4.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{x^{3} \cos (y) (3 - 4)}{x^{4} \cos (y)}$

Schritt 4.3.2.3

Subtrahiere $4$ von $3$ .

$\frac{x^{3} \cos (y) \cdot - 1}{x^{4} \cos (y)}$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x^{4}$ .

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Schritt 4.3.3.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{3} \cos (y) \cdot - 1$ heraus.

$\frac{x^{3} (\cos (y) \cdot - 1)}{x^{4} \cos (y)}$

Schritt 4.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.3.2.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{4} \cos (y)$ heraus.

$\frac{x^{3} (\cos (y) \cdot - 1)}{x^{3} (x \cos (y))}$

Schritt 4.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{3} (\cos (y) \cdot - 1)}{x^{3} (x \cos (y))}$

Schritt 4.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\cos (y) \cdot - 1}{x \cos (y)}$

Schritt 4.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (y)$ .

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Schritt 4.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (y) \cdot - 1}{x \cos (y)}$

Schritt 4.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{x}$

Schritt 4.3.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{x}$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int - \frac{1}{x} d x}$ .

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Schritt 5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 5.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x |)} + C$

Schritt 5.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache $- \ln (| x |)$ , indem du $- 1$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 1})} + C$

Schritt 5.4.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 1} + C$

Schritt 5.4.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| x |} + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $(x + 3 x^{3} \sin (y)) d x + x^{4} \cos (y) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $\frac{1}{x}$ .

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $x + 3 x^{3} \sin (y)$ mit $\frac{1}{x}$ .

$(x + 3 x^{3} \sin (y)) \frac{1}{x} d x + x^{4} \cos (y) d y = 0$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(x \frac{1}{x} + 3 x^{3} \sin (y) \frac{1}{x}) d x + x^{4} \cos (y) d y = 0$

Schritt 6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(x \frac{1}{x} + 3 x^{3} \sin (y) \frac{1}{x}) d x + x^{4} \cos (y) d y = 0$

Schritt 6.3.2

Forme den Ausdruck um.

$(1 + 3 x^{3} \sin (y) \frac{1}{x}) d x + x^{4} \cos (y) d y = 0$

Schritt 6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.4.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{3} \sin (y)$ heraus.

$(1 + x (3 x^{2} \sin (y)) \frac{1}{x}) d x + x^{4} \cos (y) d y = 0$

Schritt 6.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(1 + x (3 x^{2} \sin (y)) \frac{1}{x}) d x + x^{4} \cos (y) d y = 0$

Schritt 6.4.3

Forme den Ausdruck um.

$(1 + 3 x^{2} \sin (y)) d x + x^{4} \cos (y) d y = 0$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $x^{4} \cos (y)$ mit $\frac{1}{x}$ .

$(1 + 3 x^{2} \sin (y)) d x + x^{4} \cos (y) \frac{1}{x} d y = 0$

Schritt 6.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.6.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4} \cos (y)$ heraus.

$(1 + 3 x^{2} \sin (y)) d x + x (x^{3} \cos (y)) \frac{1}{x} d y = 0$

Schritt 6.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(1 + 3 x^{2} \sin (y)) d x + x (x^{3} \cos (y)) \frac{1}{x} d y = 0$

Schritt 6.6.3

Forme den Ausdruck um.

$(1 + 3 x^{2} \sin (y)) d x + x^{3} \cos (y) d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{3} \cos (y) d y$

Schritt 8

Integriere $N (x, y) = x^{3} \cos (y)$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 8.1

Da $x^{3}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $x^{3}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = x^{3} \int \cos (y) d y$

Schritt 8.2

Das Integral von $\cos (y)$ nach $y$ ist $\sin (y)$ .

$f (x, y) = x^{3} (\sin (y) + C)$

Schritt 8.3

Vereinfache.

$f (x, y) = x^{3} \sin (y) + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = x^{3} \sin (y) + g (x)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 1 + 3 x^{2} \sin (y)$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} \sin (y) + g (x)] = 1 + 3 x^{2} \sin (y)$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} \sin (y) + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3} \sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} \sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + 3 x^{2} \sin (y)$

Schritt 11.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{3} \sin (y)]$ .

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Schritt 11.3.1

Da $\sin (y)$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x^{3} \sin (y)$ nach $x$ gleich $\sin (y) \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\sin (y) \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + 3 x^{2} \sin (y)$

Schritt 11.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\sin (y) (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + 3 x^{2} \sin (y)$

Schritt 11.3.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\sin (y)$ .

$3 \sin (y) x^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + 3 x^{2} \sin (y)$

Schritt 11.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$3 \sin (y) x^{2} + \frac{d g}{d x} = 1 + 3 x^{2} \sin (y)$

Schritt 11.5

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} \sin (y) = 1 + 3 x^{2} \sin (y)$

Schritt 12

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 12.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 12.1.1

Subtrahiere $3 x^{2} \sin (y)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = 1 + 3 x^{2} \sin (y) - 3 x^{2} \sin (y)$

Schritt 12.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1 + 3 x^{2} \sin (y) - 3 x^{2} \sin (y)$ .

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Schritt 12.1.2.1

Subtrahiere $3 x^{2} \sin (y)$ von $3 x^{2} \sin (y)$ .

$\frac{d g}{d x} = 1 + 0$

Schritt 12.1.2.2

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 1$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $1$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = 1$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int d x$

Schritt 13.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int d x$

Schritt 13.3

Wende die Konstantenregel an.

$g (x) = x + C$

Schritt 14

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = x^{3} \sin (y) + g (x)$ ein.

$f (x, y) = x^{3} \sin (y) + x + C$