Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{7}{{(6 + x)}^{2}}$ , $y (0) = 6$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = \frac{7}{{(6 + x)}^{2}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int \frac{7}{{(6 + x)}^{2}} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int \frac{7}{{(6 + x)}^{2}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $7$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 7 \int \frac{1}{{(6 + x)}^{2}} d x$

Schritt 2.3.2

Sei $u = 6 + x$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.2.1

Es sei $u = 6 + x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Differenziere $6 + x$ .

$\frac{d}{d x} [6 + x]$

Schritt 2.3.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2.1.3

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 1$

Schritt 2.3.2.1.5

Addiere $0$ und $1$ .

$1$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$y + C_{1} = 7 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Schritt 2.3.3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.3.3.1

Bringe $u^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$y + C_{1} = 7 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Schritt 2.3.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = 7 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Schritt 2.3.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y + C_{1} = 7 \int u^{- 2} d u$

Schritt 2.3.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 2}$ nach $u$ gleich $- u^{- 1}$ .

$y + C_{1} = 7 (- u^{- 1} + C_{2})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Schreibe $7 (- u^{- 1} + C_{2})$ als $7 (- \frac{1}{u}) + C_{2}$ um.

$y + C_{1} = 7 (- \frac{1}{u}) + C_{2}$

Schritt 2.3.5.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$y + C_{1} = - 7 \frac{1}{u} + C_{2}$

Schritt 2.3.5.2.2

Kombiniere $- 7$ und $\frac{1}{u}$ .

$y + C_{1} = \frac{- 7}{u} + C_{2}$

Schritt 2.3.5.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y + C_{1} = - \frac{7}{u} + C_{2}$

Schritt 2.3.6

Ersetze alle $u$ durch $6 + x$ .

$y + C_{1} = - \frac{7}{6 + x} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = - \frac{7}{6 + x} + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $0$ für $x$ und $6$ für $y$ in $y = - \frac{7}{6 + x} + K$ ersetzt wird.

$6 = - \frac{7}{6 + 0} + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{7}{6 + 0} + K = 6$ um.

$- \frac{7}{6 + 0} + K = 6$

Schritt 4.2

Addiere $6$ und $0$ .

$- \frac{7}{6} + K = 6$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Addiere $\frac{7}{6}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$K = 6 + \frac{7}{6}$

Schritt 4.3.2

Um $6$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$K = 6 \cdot \frac{6}{6} + \frac{7}{6}$

Schritt 4.3.3

Kombiniere $6$ und $\frac{6}{6}$ .

$K = \frac{6 \cdot 6}{6} + \frac{7}{6}$

Schritt 4.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$K = \frac{6 \cdot 6 + 7}{6}$

Schritt 4.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.5.1

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$K = \frac{36 + 7}{6}$

Schritt 4.3.5.2

Addiere $36$ und $7$ .

$K = \frac{43}{6}$

Schritt 5

Setze $\frac{43}{6}$ für $K$ in $y = - \frac{7}{6 + x} + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $\frac{43}{6}$ .

$y = - \frac{7}{6 + x} + \frac{43}{6}$

Schritt 5.2

Um $- \frac{7}{6 + x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$y = - \frac{7}{6 + x} \cdot \frac{6}{6} + \frac{43}{6}$

Schritt 5.3

Um $\frac{43}{6}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6 + x}{6 + x}$ .

$y = - \frac{7}{6 + x} \cdot \frac{6}{6} + \frac{43}{6} \cdot \frac{6 + x}{6 + x}$

Schritt 5.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(6 + x) \cdot 6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.4.1

Mutltipliziere $\frac{7}{6 + x}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$y = - \frac{7 \cdot 6}{(6 + x) \cdot 6} + \frac{43}{6} \cdot \frac{6 + x}{6 + x}$

Schritt 5.4.2

Mutltipliziere $\frac{43}{6}$ mit $\frac{6 + x}{6 + x}$ .

$y = - \frac{7 \cdot 6}{(6 + x) \cdot 6} + \frac{43 (6 + x)}{6 (6 + x)}$

Schritt 5.4.3

Stelle die Faktoren von $(6 + x) \cdot 6$ um.

$y = - \frac{7 \cdot 6}{6 (6 + x)} + \frac{43 (6 + x)}{6 (6 + x)}$

Schritt 5.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{- 7 \cdot 6 + 43 (6 + x)}{6 (6 + x)}$

Schritt 5.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.6.1

Mutltipliziere $- 7$ mit $6$ .

$y = \frac{- 42 + 43 (6 + x)}{6 (6 + x)}$

Schritt 5.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 42 + 43 \cdot 6 + 43 x}{6 (6 + x)}$

Schritt 5.6.3

Mutltipliziere $43$ mit $6$ .

$y = \frac{- 42 + 258 + 43 x}{6 (6 + x)}$

Schritt 5.6.4

Addiere $- 42$ und $258$ .

$y = \frac{216 + 43 x}{6 (6 + x)}$