Analysis Beispiele

$\frac{d x}{d t} = \frac{x \ln (x)}{t}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{x \ln (x)}$ .

$\frac{1}{x \ln (x)} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x \ln (x)} \cdot \frac{x \ln (x)}{t}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x \ln (x)$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x \ln (x)} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x \ln (x)} \cdot \frac{x \ln (x)}{t}$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x \ln (x)} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{t}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{x \ln (x)} d x = \frac{1}{t} d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{x \ln (x)} d x = \int \frac{1}{t} d t$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u = \ln (x)$ . Dann ist $d u = \frac{1}{x} d x$ , folglich $x d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u = \ln (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 2.2.1.1.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{t} d t$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{t} d t$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\ln (x)$ .

$\ln (| \ln (x) |) + C_{1} = \int \frac{1}{t} d t$

Schritt 2.3

Das Integral von $\frac{1}{t}$ nach $t$ ist $\ln (| t |)$ .

$\ln (| \ln (x) |) + C_{1} = \ln (| t |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| \ln (x) |) = \ln (| t |) + C$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| \ln (x) |) - \ln (| t |) = C$

Schritt 3.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \ln (x) |}{| t |}) = C$

Schritt 3.3

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{| \ln (x) |}{| t |})} = e^{C}$

Schritt 3.4

Schreibe $\ln (\frac{| \ln (x) |}{| t |}) = C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| \ln (x) |}{| t |}$

Schritt 3.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{| \ln (x) |}{| t |} = e^{C}$ um.

$\frac{| \ln (x) |}{| t |} = e^{C}$

Schritt 3.5.2

Multipliziere beide Seiten mit $| t |$ .

$\frac{| \ln (x) |}{| t |} | t | = e^{C} | t |$

Schritt 3.5.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $| t |$ .

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Schritt 3.5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{| \ln (x) |}{| t |} | t | = e^{C} | t |$

Schritt 3.5.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$| \ln (x) | = e^{C} | t |$

Schritt 3.5.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.4.1

Stelle die Faktoren in $e^{C} | t |$ um.

$| \ln (x) | = | t | e^{C}$

Schritt 3.5.4.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$\ln (x) = \pm | t | e^{C}$

Schritt 3.5.4.3

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (x)} = e^{\pm | t | e^{C}}$

Schritt 3.5.4.4

Schreibe $\ln (x) = \pm | t | e^{C}$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{\pm | t | e^{C}} = x$

Schritt 3.5.4.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.4.5.1

Schreibe die Gleichung als $x = e^{\pm | t | e^{C}}$ um.

$x = e^{\pm | t | e^{C}}$

Schritt 3.5.4.5.2

Stelle die Faktoren in $e^{\pm | t | e^{C}}$ um.

$x = e^{\pm e^{C} | t |}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$x = e^{\pm C | t |}$

Schritt 4.2

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$x = e^{C | t |}$