Analysis Beispiele

$2 w t \frac{d t}{d w} = t^{2} - 2 w^{3}$

Schritt 1

Es sei $v = t^{2}$ . Ersetze $v$ für alle $t^{2}$ .

$2 w t \frac{d t}{d w} = v - 2 w^{3}$

Schritt 2

Finde $\frac{d v}{d w}$ durch Differenzierung von $t^{2}$ .

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ ist $f' (g (w)) g' (w)$ , mit $f (w) = w^{2}$ und $g (w) = t$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $t$ .

$\frac{d v}{d w} = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d w} [t]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{d v}{d w} = 2 u \frac{d}{d w} [t]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $t$ .

$\frac{d v}{d w} = 2 t \frac{d}{d w} [t]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{d}{d w} [t]$ als $t'$ um.

$\frac{d v}{d w} = 2 t t'$

Schritt 3

Setze die Ableitung wieder in die Differentialgleichung ein.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $2 t$ aus $2 w t$ heraus.

$2 t (w) \frac{\frac{d v}{d w}}{2 t} = v - 2 w^{3}$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 t w \frac{\frac{d v}{d w}}{2 t} = v - 2 w^{3}$

Schritt 3.3

Forme den Ausdruck um.

$w \frac{d v}{d w} = v - 2 w^{3}$

Schritt 4

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d v}{d w} + M (w) v = Q (w)$ um.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $v$ von beiden Seiten der Gleichung.

$w \frac{d v}{d w} - v = - 2 w^{3}$

Schritt 4.2

Teile jeden Ausdruck in $w \frac{d v}{d w} - v = - 2 w^{3}$ durch $w$ .

$\frac{w \frac{d v}{d w}}{w} + \frac{- v}{w} = \frac{- 2 w^{3}}{w}$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $w$ .

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Schritt 4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{w \frac{d v}{d w}}{w} + \frac{- v}{w} = \frac{- 2 w^{3}}{w}$

Schritt 4.3.2

Dividiere $\frac{d v}{d w}$ durch $1$ .

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = \frac{- 2 w^{3}}{w}$

Schritt 4.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $w^{3}$ und $w$ .

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Schritt 4.4.1

Faktorisiere $w$ aus $- 2 w^{3}$ heraus.

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = \frac{w (- 2 w^{2})}{w}$

Schritt 4.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.4.2.1

Potenziere $w$ mit $1$ .

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = \frac{w (- 2 w^{2})}{w^{1}}$

Schritt 4.4.2.2

Faktorisiere $w$ aus $w^{1}$ heraus.

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = \frac{w (- 2 w^{2})}{w \cdot 1}$

Schritt 4.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = \frac{w (- 2 w^{2})}{w \cdot 1}$

Schritt 4.4.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = \frac{- 2 w^{2}}{1}$

Schritt 4.4.2.5

Dividiere $- 2 w^{2}$ durch $1$ .

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = - 2 w^{2}$

Schritt 4.5

Faktorisiere $v$ aus $\frac{- v}{w}$ heraus.

$\frac{d v}{d w} + v \frac{- 1}{w} = - 2 w^{2}$

Schritt 4.6

Stelle $v$ und $\frac{- 1}{w}$ um.

$\frac{d v}{d w} + \frac{- 1}{w} v = - 2 w^{2}$

Schritt 5

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (w) d w}$ , wobei $P (w) = \frac{- 1}{w}$ gilt.

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Schritt 5.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{- 1}{w} d w}$

Schritt 5.2

Integriere $\frac{- 1}{w}$ .

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Schritt 5.2.1

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$e^{\int - \frac{1}{w} d w}$

Schritt 5.2.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $w$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- \int \frac{1}{w} d w}$

Schritt 5.2.3

Das Integral von $\frac{1}{w}$ nach $w$ ist $\ln (| w |)$ .

$e^{- (\ln (| w |) + C)}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache.

$e^{- \ln (| w |) + C}$

Schritt 5.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- \ln (w)}$

Schritt 5.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln (w^{- 1})}$

Schritt 5.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$w^{- 1}$

Schritt 5.6

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{w}$

Schritt 6

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{w}$ .

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Schritt 6.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{w}$ .

$\frac{1}{w} \frac{d v}{d w} + \frac{1}{w} (\frac{- 1}{w} v) = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Schritt 6.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1

Kombiniere $\frac{1}{w}$ und $\frac{d v}{d w}$ .

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} + \frac{1}{w} (\frac{- 1}{w} v) = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Schritt 6.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} + \frac{1}{w} (- \frac{1}{w} v) = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Schritt 6.2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{1}{w} (\frac{1}{w} v) = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Schritt 6.2.4

Kombiniere $\frac{1}{w}$ und $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{1}{w} \cdot \frac{v}{w} = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Schritt 6.2.5

Multipliziere $- \frac{1}{w} \cdot \frac{v}{w}$ .

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Schritt 6.2.5.1

Mutltipliziere $\frac{v}{w}$ mit $\frac{1}{w}$ .

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w \cdot w} = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Schritt 6.2.5.2

Potenziere $w$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{1} w} = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Schritt 6.2.5.3

Potenziere $w$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{1} w^{1}} = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Schritt 6.2.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{1 + 1}} = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Schritt 6.2.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{2}} = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Schritt 6.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{2}} = - 2 \frac{1}{w} w^{2}$

Schritt 6.4

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{w}$ .

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{2}} = \frac{- 2}{w} w^{2}$

Schritt 6.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $w$ .

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Schritt 6.5.1

Faktorisiere $w$ aus $w^{2}$ heraus.

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{2}} = \frac{- 2}{w} (w \cdot w)$

Schritt 6.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{2}} = \frac{- 2}{w} (w \cdot w)$

Schritt 6.5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{2}} = - 2 w$

Schritt 7

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d w} [\frac{1}{w} v] = - 2 w$

Schritt 8

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d w} [\frac{1}{w} v] d w = \int - 2 w d w$

Schritt 9

Integriere die linke Seite.

$\frac{1}{w} v = \int - 2 w d w$

Schritt 10

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 10.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $w$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$\frac{1}{w} v = - 2 \int w d w$

Schritt 10.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $w$ nach $w$ gleich $\frac{1}{2} w^{2}$ .

$\frac{1}{w} v = - 2 (\frac{1}{2} w^{2} + C)$

Schritt 10.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.3.1

Schreibe $- 2 (\frac{1}{2} w^{2} + C)$ als $- 2 (\frac{1}{2}) w^{2} + C$ um.

$\frac{1}{w} v = - 2 (\frac{1}{2}) w^{2} + C$

Schritt 10.3.2

Vereinfache.

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Schritt 10.3.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{w} v = \frac{- 2}{2} w^{2} + C$

Schritt 10.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 10.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{1}{w} v = \frac{2 \cdot - 1}{2} w^{2} + C$

Schritt 10.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.3.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{1}{w} v = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} w^{2} + C$

Schritt 10.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{w} v = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} w^{2} + C$

Schritt 10.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{w} v = \frac{- 1}{1} w^{2} + C$

Schritt 10.3.2.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$\frac{1}{w} v = - w^{2} + C$

Schritt 11

Löse nach $v$ auf.

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Schritt 11.1

Kombiniere $\frac{1}{w}$ und $v$ .

$\frac{v}{w} = - w^{2} + C$

Schritt 11.2

Multipliziere beide Seiten mit $w$ .

$\frac{v}{w} w = (- w^{2} + C) w$

Schritt 11.3

Vereinfache.

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Schritt 11.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 11.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $w$ .

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Schritt 11.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{v}{w} w = (- w^{2} + C) w$

Schritt 11.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$v = (- w^{2} + C) w$

Schritt 11.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 11.3.2.1

Vereinfache $(- w^{2} + C) w$ .

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Schritt 11.3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$v = - w^{2} w + C w$

Schritt 11.3.2.1.2

Multipliziere $w^{2}$ mit $w$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.3.2.1.2.1

Bewege $w$ .

$v = - (w \cdot w^{2}) + C w$

Schritt 11.3.2.1.2.2

Mutltipliziere $w$ mit $w^{2}$ .

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Schritt 11.3.2.1.2.2.1

Potenziere $w$ mit $1$ .

$v = - (w^{1} w^{2}) + C w$

Schritt 11.3.2.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$v = - w^{1 + 2} + C w$

Schritt 11.3.2.1.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$v = - w^{3} + C w$

Schritt 12

Ersetze alle $v$ durch $t^{2}$ .

$t^{2} = - w^{3} + C w$

Schritt 13

Löse nach $t$ auf.

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Schritt 13.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$t = \pm \sqrt{- w^{3} + C w}$

Schritt 13.2

Faktorisiere $w$ aus $- w^{3} + C w$ heraus.

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Schritt 13.2.1

Faktorisiere $w$ aus $- w^{3}$ heraus.

$t = \pm \sqrt{w (- w^{2}) + C w}$

Schritt 13.2.2

Faktorisiere $w$ aus $C w$ heraus.

$t = \pm \sqrt{w (- w^{2}) + w C}$

Schritt 13.2.3

Faktorisiere $w$ aus $w (- w^{2}) + w C$ heraus.

$t = \pm \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

Schritt 13.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 13.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$t = \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

Schritt 13.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$t = - \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

Schritt 13.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$t = \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

$t = - \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

$t = \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

$t = - \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

$t = \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

$t = - \sqrt{w (- w^{2} + C)}$