Analysis Beispiele

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + y = x^{2} + 2$

Schritt 1

Nimm an, alle Lösungen haben die Form $y = e^{r x}$ .

Schritt 2

Ermittle die charakteristische Gleichung für $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + y = x^{2} + 2$ .

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

Schritt 2.3

Setze in die Differentialgleichung ein.

$r^{2} e^{r x} + e^{r x} = x^{2} + 2$

Schritt 2.4

Faktorisiere $e^{r x}$ aus.

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Schritt 2.4.1

Faktorisiere $e^{r x}$ aus $r^{2} e^{r x}$ heraus.

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} = x^{2} + 2$

Schritt 2.4.2

Multipliziere mit $1$ .

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot 1 = x^{2} + 2$

Schritt 2.4.3

Faktorisiere $e^{r x}$ aus $e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot 1$ heraus.

$e^{r x} (r^{2} + 1) = x^{2} + 2$

Schritt 2.5

Da Exponentialfunktionen nie null sein können, teile beide Seiten durch $e^{r x}$ .

$r^{2} + 1 = x^{2} + 2$

Schritt 3

Löse nach $r$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die nicht $r$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$r^{2} = x^{2} + 2 - 1$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$r^{2} = x^{2} + 1$

Schritt 3.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$r = \pm \sqrt{x^{2} + 1}$

Schritt 3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$r = \sqrt{x^{2} + 1}$

Schritt 3.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$r = - \sqrt{x^{2} + 1}$

Schritt 3.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$r = \sqrt{x^{2} + 1}$

$r = - \sqrt{x^{2} + 1}$

$r = \sqrt{x^{2} + 1}$

$r = - \sqrt{x^{2} + 1}$

$r = \sqrt{x^{2} + 1}$

$r = - \sqrt{x^{2} + 1}$

Schritt 4

Mit den beiden gefundenen Werten von $r$ lassen sich zwei Lösungen entwickeln.

$y_{1} = e^{\sqrt{x^{2} + 1} x}$

$y_{2} = e^{- \sqrt{x^{2} + 1} x}$

Schritt 5

Gemäß dem Überlagerungsprinzip ist die allgemeine Lösung eine Linearkombination von zwei Lösungen für eine homogene lineare Differenzialgleichung zweiter Ordnung.

$y = c_{1} e^{\sqrt{x^{2} + 1} x} + c_{2} e^{- \sqrt{x^{2} + 1} x}$