Analysis Beispiele

$5 \frac{d y}{d x} + 2 x = 3$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Löse nach $\frac{d y}{d x}$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 \frac{d y}{d x} = 3 - 2 x$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $5 \frac{d y}{d x} = 3 - 2 x$ durch $5$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 \frac{d y}{d x} = 3 - 2 x$ durch $5$ .

$\frac{5 \frac{d y}{d x}}{5} = \frac{3}{5} + \frac{- 2 x}{5}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \frac{d y}{d x}}{5} = \frac{3}{5} + \frac{- 2 x}{5}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{5} + \frac{- 2 x}{5}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{5} - \frac{2 x}{5}$

Schritt 1.2

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (\frac{3}{5} - \frac{2 x}{5}) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int \frac{3}{5} - \frac{2 x}{5} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int \frac{3}{5} - \frac{2 x}{5} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int \frac{3}{5} d x + \int - \frac{2 x}{5} d x$

Schritt 2.3.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \frac{3}{5} x + C_{2} + \int - \frac{2 x}{5} d x$

Schritt 2.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = \frac{3}{5} x + C_{2} - \int \frac{2 x}{5} d x$

Schritt 2.3.4

Da $\frac{2}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{2}{5}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = \frac{3}{5} x + C_{2} - (\frac{2}{5} \int x d x)$

Schritt 2.3.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{3}{5} x + C_{2} - \frac{2}{5} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.6.1

Vereinfache.

$y + C_{1} = \frac{3}{5} x - \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.6.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{2}{5}$ .

$y + C_{1} = \frac{3}{5} x - \frac{2}{2 \cdot 5} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$y + C_{1} = \frac{3}{5} x - \frac{2}{10} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $10$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.6.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y + C_{1} = \frac{3}{5} x - \frac{2 (1)}{10} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.6.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$y + C_{1} = \frac{3}{5} x - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 5} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + C_{1} = \frac{3}{5} x - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 5} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y + C_{1} = \frac{3}{5} x - \frac{1}{5} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = \frac{3}{5} x - \frac{1}{5} x^{2} + K$