Analysis Beispiele

$(2 y^{2} + 3 x y - 2 y + 6 x) d x + (x^{2} + 2 x y - x) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = 2 y^{2} + 3 x y - 2 y + 6 x$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 y^{2} + 3 x y - 2 y + 6 x]$

Schritt 1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 y^{2} + 3 x y - 2 y + 6 x$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [6 x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [6 x]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [2 y^{2}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 y^{2}$ nach $y$ gleich $2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [6 x]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 y) + \frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [6 x]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y + \frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [6 x]$

Schritt 1.4

Berechne $\frac{d}{d y} [3 x y]$ .

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Schritt 1.4.1

Da $3 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3 x y$ nach $y$ gleich $3 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y + 3 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [6 x]$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y + 3 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [6 x]$

Schritt 1.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y + 3 x + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [6 x]$

Schritt 1.5

Berechne $\frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

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Schritt 1.5.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 2 y$ nach $y$ gleich $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y + 3 x - 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [6 x]$

Schritt 1.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y + 3 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [6 x]$

Schritt 1.5.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y + 3 x - 2 + \frac{d}{d y} [6 x]$

Schritt 1.6

Da $6 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y + 3 x - 2 + 0$

Schritt 1.7

Vereinfache.

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Schritt 1.7.1

Addiere $4 y + 3 x - 2$ und $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y + 3 x - 2$

Schritt 1.7.2

Stelle die Terme um.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + 4 y - 2$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x^{2} + 2 x y - x$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x y - x]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 2 x y - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $2 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x y$ nach $x$ gleich $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 y + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 y - \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 y - 1 \cdot 1$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 y - 1$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $3 x + 4 y - 2$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $2 x + 2 y - 1$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$3 x + 4 y - 2 = 2 x + 2 y - 1$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$3 x + 4 y - 2 = 2 x + 2 y - 1$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $3 x + 4 y - 2$ .

$\frac{3 x + 4 y - 2 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $2 x + 2 y - 1$ .

$\frac{3 x + 4 y - 2 - (2 x + 2 y - 1)}{N}$

Schritt 4.3

Ersetze $N$ durch $x^{2} + 2 x y - x$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $N$ durch $x^{2} + 2 x y - x$ .

$\frac{3 x + 4 y - 2 - (2 x + 2 y - 1)}{x^{2} + 2 x y - x}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x + 4 y - 2 - (2 x) - (2 y) - - 1}{x^{2} + 2 x y - x}$

Schritt 4.3.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.3.2.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{3 x + 4 y - 2 - 2 x - (2 y) - - 1}{x^{2} + 2 x y - x}$

Schritt 4.3.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{3 x + 4 y - 2 - 2 x - 2 y - - 1}{x^{2} + 2 x y - x}$

Schritt 4.3.2.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{3 x + 4 y - 2 - 2 x - 2 y + 1}{x^{2} + 2 x y - x}$

Schritt 4.3.2.3

Subtrahiere $2 x$ von $3 x$ .

$\frac{x + 4 y - 2 - 2 y + 1}{x^{2} + 2 x y - x}$

Schritt 4.3.2.4

Subtrahiere $2 y$ von $4 y$ .

$\frac{x + 2 y - 2 + 1}{x^{2} + 2 x y - x}$

Schritt 4.3.2.5

Addiere $- 2$ und $1$ .

$\frac{x + 2 y - 1}{x^{2} + 2 x y - x}$

Schritt 4.3.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} + 2 x y - x$ heraus.

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Schritt 4.3.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{x + 2 y - 1}{x \cdot x + 2 x y - x}$

Schritt 4.3.3.2

Faktorisiere $x$ aus $2 x y$ heraus.

$\frac{x + 2 y - 1}{x \cdot x + x (2 y) - x}$

Schritt 4.3.3.3

Faktorisiere $x$ aus $- x$ heraus.

$\frac{x + 2 y - 1}{x \cdot x + x (2 y) + x \cdot - 1}$

Schritt 4.3.3.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x (2 y)$ heraus.

$\frac{x + 2 y - 1}{x (x + 2 y) + x \cdot - 1}$

Schritt 4.3.3.5

Faktorisiere $x$ aus $x (x + 2 y) + x \cdot - 1$ heraus.

$\frac{x + 2 y - 1}{x (x + 2 y - 1)}$

Schritt 4.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 2 y - 1$ .

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Schritt 4.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x + 2 y - 1}{x (x + 2 y - 1)}$

Schritt 4.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x}$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ .

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Schritt 5.1

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

Schritt 5.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

Schritt 5.2.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = | x | + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $(2 y^{2} + 3 x y - 2 y + 6 x) d x + (x^{2} + 2 x y - x) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $x$ .

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $2 y^{2} + 3 x y - 2 y + 6 x$ mit $x$ .

$(2 y^{2} + 3 x y - 2 y + 6 x) x d x + (x^{2} + 2 x y - x) d y = 0$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 y^{2} x + 3 x y x - 2 y x + 6 x \cdot x) d x + (x^{2} + 2 x y - x) d y = 0$

Schritt 6.3

Vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.3.1.1

Bewege $x$ .

$(2 y^{2} x + 3 (x \cdot x) y - 2 y x + 6 x \cdot x) d x + (x^{2} + 2 x y - x) d y = 0$

Schritt 6.3.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x \cdot x) d x + (x^{2} + 2 x y - x) d y = 0$

Schritt 6.3.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.3.2.1

Bewege $x$ .

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 (x \cdot x)) d x + (x^{2} + 2 x y - x) d y = 0$

Schritt 6.3.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}) d x + (x^{2} + 2 x y - x) d y = 0$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $x^{2} + 2 x y - x$ mit $x$ .

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}) d x + (x^{2} + 2 x y - x) x d y = 0$

Schritt 6.5

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}) d x + (x^{2} x + 2 x y x - x \cdot x) d y = 0$

Schritt 6.6

Vereinfache.

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Schritt 6.6.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.6.1.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 6.6.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}) d x + (x^{2} x^{1} + 2 x y x - x \cdot x) d y = 0$

Schritt 6.6.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}) d x + (x^{2 + 1} + 2 x y x - x \cdot x) d y = 0$

Schritt 6.6.1.2

Addiere $2$ und $1$ .

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}) d x + (x^{3} + 2 x y x - x \cdot x) d y = 0$

Schritt 6.6.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.6.2.1

Bewege $x$ .

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}) d x + (x^{3} + 2 (x \cdot x) y - x \cdot x) d y = 0$

Schritt 6.6.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}) d x + (x^{3} + 2 x^{2} y - x \cdot x) d y = 0$

Schritt 6.6.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.6.3.1

Bewege $x$ .

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}) d x + (x^{3} + 2 x^{2} y - (x \cdot x)) d y = 0$

Schritt 6.6.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}) d x + (x^{3} + 2 x^{2} y - x^{2}) d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{3} + 2 x^{2} y - x^{2} d y$

Schritt 8

Integriere $N (x, y) = x^{3} + 2 x^{2} y - x^{2}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 8.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \int x^{3} d y + \int 2 x^{2} y d y + \int - x^{2} d y$

Schritt 8.2

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = x^{3} y + C + \int 2 x^{2} y d y + \int - x^{2} d y$

Schritt 8.3

Da $2 x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2 x^{2}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = x^{3} y + C + 2 x^{2} \int y d y + \int - x^{2} d y$

Schritt 8.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{3} y + C + 2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int - x^{2} d y$

Schritt 8.5

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = x^{3} y + C + 2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C) - x^{2} y + C$

Schritt 8.6

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{3} y + C + 2 x^{2} (\frac{y^{2}}{2} + C) - x^{2} y + C$

Schritt 8.7

Vereinfache.

$f (x, y) = x^{3} y + x^{2} y^{2} - x^{2} y + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = x^{3} y + x^{2} y^{2} - x^{2} y + g (x)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} y + x^{2} y^{2} - x^{2} y + g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} y + x^{2} y^{2} - x^{2} y + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

Schritt 11.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{3} y]$ .

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Schritt 11.3.1

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x^{3} y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

Schritt 11.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$y (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

Schritt 11.3.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $y$ .

$3 y x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

Schritt 11.4

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

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Schritt 11.4.1

Da $y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x^{2} y^{2}$ nach $x$ gleich $y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 y x^{2} + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

Schritt 11.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 y x^{2} + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

Schritt 11.4.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$3 y x^{2} + 2 y^{2} x + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

Schritt 11.5

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2} y]$ .

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Schritt 11.5.1

Da $- y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2} y$ nach $x$ gleich $- y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 y x^{2} + 2 y^{2} x - y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

Schritt 11.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 y x^{2} + 2 y^{2} x - y (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

Schritt 11.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$3 y x^{2} + 2 y^{2} x - 2 y x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

Schritt 11.6

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$3 y x^{2} + 2 y^{2} x - 2 y x + \frac{d g}{d x} = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

Schritt 11.7

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y + 2 y^{2} x - 2 x y = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

Schritt 12

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 12.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 12.1.1

Subtrahiere $3 x^{2} y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} + 2 y^{2} x - 2 x y = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2} - 3 x^{2} y$

Schritt 12.1.2

Subtrahiere $2 y^{2} x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} - 2 x y = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2} - 3 x^{2} y - 2 y^{2} x$

Schritt 12.1.3

Addiere $2 x y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2} - 3 x^{2} y - 2 y^{2} x + 2 x y$

Schritt 12.1.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2} - 3 x^{2} y - 2 y^{2} x + 2 x y$ .

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Schritt 12.1.4.1

Subtrahiere $3 x^{2} y$ von $3 x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 y^{2} x - 2 y x + 6 x^{2} + 0 - 2 y^{2} x + 2 x y$

Schritt 12.1.4.2

Addiere $2 y^{2} x - 2 y x + 6 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 y^{2} x - 2 y x + 6 x^{2} - 2 y^{2} x + 2 x y$

Schritt 12.1.4.3

Subtrahiere $2 y^{2} x$ von $2 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = - 2 y x + 6 x^{2} + 0 + 2 x y$

Schritt 12.1.4.4

Addiere $- 2 y x + 6 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - 2 y x + 6 x^{2} + 2 x y$

Schritt 12.1.4.5

Ordne die Faktoren in den Termen $- 2 y x$ und $2 x y$ neu an.

$\frac{d g}{d x} = - 2 x y + 6 x^{2} + 2 x y$

Schritt 12.1.4.6

Addiere $- 2 x y$ und $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = 6 x^{2} + 0$

Schritt 12.1.4.7

Addiere $6 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 6 x^{2}$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $6 x^{2}$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = 6 x^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 6 x^{2} d x$

Schritt 13.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 6 x^{2} d x$

Schritt 13.3

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$g (x) = 6 \int x^{2} d x$

Schritt 13.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Schritt 13.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 13.5.1

Schreibe $6 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ als $6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ um.

$g (x) = 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Schritt 13.5.2

Vereinfache.

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Schritt 13.5.2.1

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{3}$ .

$g (x) = \frac{6}{3} x^{3} + C$

Schritt 13.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $3$ .

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Schritt 13.5.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$g (x) = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{3} + C$

Schritt 13.5.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.5.2.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$g (x) = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{3} + C$

Schritt 13.5.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g (x) = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{3} + C$

Schritt 13.5.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$g (x) = \frac{2}{1} x^{3} + C$

Schritt 13.5.2.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$g (x) = 2 x^{3} + C$

Schritt 14

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = x^{3} y + x^{2} y^{2} - x^{2} y + g (x)$ ein.

$f (x, y) = x^{3} y + x^{2} y^{2} - x^{2} y + 2 x^{3} + C$