Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \sin (x)$

Schritt 1

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = 2$ gilt.

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Schritt 1.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int 2 d x}$

Schritt 1.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{2 x + C}$

Schritt 1.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{2 x}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{2 x}$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + e^{2 x} (2 y) = e^{2 x} \sin (x)$

Schritt 2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} \sin (x)$

Schritt 2.3

Stelle die Faktoren in $e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} \sin (x)$ um.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 y e^{2 x} = e^{2 x} \sin (x)$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] = e^{2 x} \sin (x)$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] d x = \int e^{2 x} \sin (x) d x$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$e^{2 x} y = \int e^{2 x} \sin (x) d x$

Schritt 6

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Stelle $e^{2 x}$ und $\sin (x)$ um.

$e^{2 x} y = \int \sin (x) e^{2 x} d x$

Schritt 6.2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \sin (x)$ und $d v = e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \sin (x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cos (x) d x$

Schritt 6.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$e^{2 x} y = \sin (x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} \cos (x) d x)$

Schritt 6.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.4.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \sin (x) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} \cos (x) d x)$

Schritt 6.4.2

Kombiniere $\sin (x)$ und $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} \cos (x) d x)$

Schritt 6.4.3

Stelle $e^{2 x}$ und $\cos (x)$ um.

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int \cos (x) e^{2 x} d x)$

Schritt 6.5

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \cos (x)$ und $d v = e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} (\cos (x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (- \sin (x)) d x))$

Schritt 6.6

Da $\frac{1}{2} \cdot - 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2} \cdot - 1$ aus dem Integral.

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} (\cos (x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - (\frac{1}{2} \cdot - 1 \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)))$

Schritt 6.7

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.7.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} (\cos (x) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 1 \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)))$

Schritt 6.7.2

Kombiniere $\cos (x)$ und $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} (\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 1 \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)))$

Schritt 6.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} (\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)))$

Schritt 6.7.4

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (- (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x))$

Schritt 6.7.5

Mutltipliziere $\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} (- (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x))$

Schritt 6.7.6

Multipliziere.

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Schritt 6.7.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4} - \frac{1}{2} (- (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x))$

Schritt 6.7.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4} + 1 (\frac{1}{2}) (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)$

Schritt 6.7.6.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4} + \frac{1}{2} (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)$

Schritt 6.7.7

Mutltipliziere $\frac{- 1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4} + \frac{- 1}{2 \cdot 2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x$

Schritt 6.7.8

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4} + \frac{- 1}{4} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x$

Schritt 6.8

Wenn nach $\int e^{2 x} \sin (x) d x$ aufgelöst wird, erhalten wir $\int e^{2 x} \sin (x) d x$ = $\frac{\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}}{\frac{5}{4}}$ .

$e^{2 x} y = \frac{\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}}{\frac{5}{4}} + C$

Schritt 6.9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.9.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{5}{4}$ zu dividieren.

$e^{2 x} y = (\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) \frac{4}{5} + C$

Schritt 6.9.2

Schreibe $(\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) \frac{4}{5} + C$ als $(\frac{1}{2} \sin (x) e^{2 x} - \frac{1}{4} \cos (x) e^{2 x}) \frac{4}{5} + C$ um.

$e^{2 x} y = (\frac{1}{2} \sin (x) e^{2 x} - \frac{1}{4} \cos (x) e^{2 x}) \frac{4}{5} + C$

Schritt 6.9.3

Vereinfache.

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Schritt 6.9.3.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sin (x)$ .

$e^{2 x} y = (\frac{\sin (x)}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} \cos (x) e^{2 x}) \frac{4}{5} + C$

Schritt 6.9.3.2

Kombiniere $\frac{\sin (x)}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = (\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \cos (x) e^{2 x}) \frac{4}{5} + C$

Schritt 6.9.3.3

Kombiniere $\cos (x)$ und $\frac{1}{4}$ .

$e^{2 x} y = (\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x)}{4} e^{2 x}) \frac{4}{5} + C$

Schritt 6.9.3.4

Kombiniere $e^{2 x}$ und $\frac{\cos (x)}{4}$ .

$e^{2 x} y = (\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x} \cos (x)}{4}) \frac{4}{5} + C$

Schritt 6.9.4

Stelle die Faktoren in $\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2}$ um.

$e^{2 x} y = (\frac{1}{2} e^{2 x} \sin (x) - \frac{1}{4} e^{2 x} \cos (x)) \frac{4}{5} + C$

Schritt 7

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 7.1

Vereinfache.

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Schritt 7.1.1

Kombiniere $e^{2 x}$ und $\frac{1}{4}$ .

$e^{2 x} y = (\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} \sin (x)) - \frac{e^{2 x}}{4} \cdot \cos (x)) \frac{4}{5} + C$

Schritt 7.1.2

Kombiniere $\cos (x)$ und $\frac{e^{2 x}}{4}$ .

$e^{2 x} y = (\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} \sin (x)) - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) \frac{4}{5} + C$

Schritt 7.1.3

Entferne die Klammern.

$e^{2 x} y = (\frac{1}{2} \cdot e^{2 x} \sin (x) - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) \frac{4}{5} + C$

Schritt 7.2

Teile jeden Ausdruck in $e^{2 x} y = (\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} \sin (x)) - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) (\frac{4}{5}) + C$ durch $e^{2 x}$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{2 x} y = (\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} \sin (x)) - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) (\frac{4}{5}) + C$ durch $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{(\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} \sin (x)) - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) (\frac{4}{5})}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{2 x}$ .

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Schritt 7.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{(\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} \sin (x)) - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) (\frac{4}{5})}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 7.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{(\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} \sin (x)) - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) (\frac{4}{5})}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.3.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.3.1.1.1

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $\frac{1}{2} \cdot e^{2 x} \sin (x) - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}$ heraus.

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Schritt 7.2.3.1.1.1.1

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $\frac{1}{2} \cdot e^{2 x} \sin (x)$ heraus.

$y = \frac{(e^{2 x} (\frac{1}{2} \sin (x)) - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) \frac{4}{5}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 7.2.3.1.1.1.2

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $- \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}$ heraus.

$y = \frac{(e^{2 x} (\frac{1}{2} \sin (x)) + e^{2 x} (- \frac{\cos (x)}{4})) \frac{4}{5}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 7.2.3.1.1.1.3

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $e^{2 x} (\frac{1}{2} \sin (x)) + e^{2 x} (- \frac{\cos (x)}{4})$ heraus.

$y = \frac{e^{2 x} (\frac{1}{2} \sin (x) - \frac{\cos (x)}{4}) \frac{4}{5}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 7.2.3.1.1.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sin (x)$ .

$y = \frac{e^{2 x} (\frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{4}) \frac{4}{5}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 7.2.3.1.1.3

Kombiniere $\frac{4}{5}$ und $e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{4 e^{2 x}}{5} (\frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{4})}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 7.2.3.1.2

Faktorisiere $\frac{4 e^{2 x}}{5}$ aus $\frac{\frac{4 e^{2 x}}{5} (\frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{4})}{e^{2 x}}$ heraus.

$y = \frac{4 e^{2 x}}{5} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{4}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 7.2.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{2 x}$ .

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Schritt 7.2.3.1.3.1

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $4 e^{2 x}$ heraus.

$y = \frac{e^{2 x} \cdot 4}{5} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{4}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 7.2.3.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{e^{2 x} \cdot 4}{5} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{4}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 7.2.3.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{4}{5} (\frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{4}) + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 7.2.3.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{4}{5} \cdot \frac{\sin (x)}{2} + \frac{4}{5} (- \frac{\cos (x)}{4}) + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 7.2.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.3.1.5.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y = \frac{2 (2)}{5} \cdot \frac{\sin (x)}{2} + \frac{4}{5} (- \frac{\cos (x)}{4}) + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 7.2.3.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{2 \cdot 2}{5} \cdot \frac{\sin (x)}{2} + \frac{4}{5} (- \frac{\cos (x)}{4}) + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 7.2.3.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{2}{5} \sin (x) + \frac{4}{5} (- \frac{\cos (x)}{4}) + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 7.2.3.1.6

Kombiniere $\frac{2}{5}$ und $\sin (x)$ .

$y = \frac{2 \sin (x)}{5} + \frac{4}{5} (- \frac{\cos (x)}{4}) + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 7.2.3.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 7.2.3.1.7.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\cos (x)}{4}$ in den Zähler.

$y = \frac{2 \sin (x)}{5} + \frac{4}{5} \cdot \frac{- \cos (x)}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 7.2.3.1.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{2 \sin (x)}{5} + \frac{4}{5} \cdot \frac{- \cos (x)}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 7.2.3.1.7.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{2 \sin (x)}{5} + \frac{1}{5} (- \cos (x)) + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 7.2.3.1.8

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $\cos (x)$ .

$y = \frac{2 \sin (x)}{5} - \frac{\cos (x)}{5} + \frac{C}{e^{2 x}}$