Analysis Beispiele

$y (x^{4} - y^{2}) d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = y (x^{4} - y^{2})$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (x^{4} - y^{2})]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = y$ und $g (y) = x^{4} - y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [x^{4} - y^{2}] + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - y^{2}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x^{4}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [x^{4}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]) + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.2

Da $x^{4}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x^{4}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (0 + \frac{d}{d y} [- y^{2}]) + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [- y^{2}] + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y^{2}$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- (2 y)) + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- 2 y) + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.4

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 (y^{1} y) + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.5

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 (y^{1} y^{1}) + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y^{1 + 1} + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.7

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y^{2} + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y^{2} + (x^{4} - y^{2}) \cdot 1$

Schritt 1.9

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 1.9.1

Mutltipliziere $x^{4} - y^{2}$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y^{2} + x^{4} - y^{2}$

Schritt 1.9.2

Subtrahiere $y^{2}$ von $- 2 y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{4} - 3 y^{2}$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x (x^{4} + y^{2})$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (x^{4} + y^{2})]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x^{4} + y^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{2}] + (x^{4} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} + y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]) + (x^{4} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [y^{2}]) + (x^{4} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.3

Da $y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (4 x^{3} + 0) + (x^{4} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.4

Addiere $4 x^{3}$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (4 x^{3}) + (x^{4} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 (x^{1} x^{3}) + (x^{4} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{1 + 3} + (x^{4} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.6

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{4} + (x^{4} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{4} + (x^{4} + y^{2}) \cdot 1$

Schritt 2.8

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.8.1

Mutltipliziere $x^{4} + y^{2}$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{4} + x^{4} + y^{2}$

Schritt 2.8.2

Addiere $4 x^{4}$ und $x^{4}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 x^{4} + y^{2}$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $x^{4} - 3 y^{2}$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $5 x^{4} + y^{2}$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$x^{4} - 3 y^{2} = 5 x^{4} + y^{2}$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$x^{4} - 3 y^{2} = 5 x^{4} + y^{2}$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $x^{4} - 3 y^{2}$ .

$\frac{x^{4} - 3 y^{2} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $5 x^{4} + y^{2}$ .

$\frac{x^{4} - 3 y^{2} - (5 x^{4} + y^{2})}{N}$

Schritt 4.3

Ersetze $N$ durch $x (x^{4} + y^{2})$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $N$ durch $x (x^{4} + y^{2})$ .

$\frac{x^{4} - 3 y^{2} - (5 x^{4} + y^{2})}{x (x^{4} + y^{2})}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.2.1

Es sei $u = y^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $y^{2}$ .

$\frac{- 4 x^{4} - 4 u}{x (x^{4} + y^{2})}$

Schritt 4.3.2.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x^{4} - 4 u$ heraus.

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Schritt 4.3.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x^{4}$ heraus.

$\frac{4 (- x^{4}) - 4 u}{x (x^{4} + y^{2})}$

Schritt 4.3.2.2.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 u$ heraus.

$\frac{4 (- x^{4}) + 4 (- u)}{x (x^{4} + y^{2})}$

Schritt 4.3.2.2.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (- x^{4}) + 4 (- u)$ heraus.

$\frac{4 (- x^{4} - u)}{x (x^{4} + y^{2})}$

Schritt 4.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y^{2}$ .

$\frac{4 (- x^{4} - y^{2})}{x (x^{4} + y^{2})}$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- x^{4} - y^{2}$ und $x^{4} + y^{2}$ .

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Schritt 4.3.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{4}$ heraus.

$\frac{4 (- (x^{4}) - y^{2})}{x (x^{4} + y^{2})}$

Schritt 4.3.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- y^{2}$ heraus.

$\frac{4 (- (x^{4}) - (y^{2}))}{x (x^{4} + y^{2})}$

Schritt 4.3.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{4}) - (y^{2})$ heraus.

$\frac{4 (- (x^{4} + y^{2}))}{x (x^{4} + y^{2})}$

Schritt 4.3.3.4

Schreibe $- (x^{4} + y^{2})$ als $- 1 (x^{4} + y^{2})$ um.

$\frac{4 (- 1 (x^{4} + y^{2}))}{x (x^{4} + y^{2})}$

Schritt 4.3.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (- 1 (x^{4} + y^{2}))}{x (x^{4} + y^{2})}$

Schritt 4.3.3.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 \cdot (- 1)}{x}$

Schritt 4.3.4

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{- 4}{x}$

Schritt 4.3.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4}{x}$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{4}{x} d x}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int - \frac{4}{x} d x}$ .

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Schritt 5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{4}{x} d x}$

Schritt 5.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- (4 \int \frac{1}{x} d x)}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 5.4

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 5.5

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- 4 \ln (| x |)} + C$

Schritt 5.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.6.1

Vereinfache $- 4 \ln (| x |)$ , indem du $- 4$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 4})} + C$

Schritt 5.6.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 4} + C$

Schritt 5.6.3

Entferne den Absolutwert in ${| x |}^{- 4}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$μ (x, y) = x^{- 4} + C$

Schritt 5.6.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{4}} + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $y (x^{4} - y^{2}) d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $\frac{1}{x^{4}}$ .

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $y (x^{4} - y^{2})$ mit $\frac{1}{x^{4}}$ .

$y (x^{4} - y^{2}) \frac{1}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(y x^{4} + y (- y^{2})) \frac{1}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

Schritt 6.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(y x^{4} - y \cdot y^{2}) \frac{1}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

Schritt 6.4

Multipliziere $y$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.4.1

Bewege $y^{2}$ .

$(y x^{4} - (y^{2} y)) \frac{1}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

Schritt 6.4.2

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $y$ .

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Schritt 6.4.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$(y x^{4} - (y^{2} y^{1})) \frac{1}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

Schritt 6.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(y x^{4} - y^{2 + 1}) \frac{1}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

Schritt 6.4.3

Addiere $2$ und $1$ .

$(y x^{4} - y^{3}) \frac{1}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $y x^{4} - y^{3}$ mit $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{y x^{4} - y^{3}}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

Schritt 6.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.6.1

Faktorisiere $y$ aus $y x^{4} - y^{3}$ heraus.

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Schritt 6.6.1.1

Faktorisiere $y$ aus $y x^{4}$ heraus.

$\frac{y (x^{4}) - y^{3}}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

Schritt 6.6.1.2

Faktorisiere $y$ aus $- y^{3}$ heraus.

$\frac{y (x^{4}) + y (- y^{2})}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

Schritt 6.6.1.3

Faktorisiere $y$ aus $y (x^{4}) + y (- y^{2})$ heraus.

$\frac{y (x^{4} - y^{2})}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

Schritt 6.6.2

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$\frac{y ({(x^{2})}^{2} - y^{2})}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

Schritt 6.6.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x^{2}$ und $b = y$ .

$\frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

Schritt 6.7

Mutltipliziere $x (x^{4} + y^{2})$ mit $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

Schritt 6.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.8.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$\frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) \frac{1}{x \cdot x^{3}} d y = 0$

Schritt 6.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) \frac{1}{x \cdot x^{3}} d y = 0$

Schritt 6.8.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}} d x + (x^{4} + y^{2}) \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

Schritt 6.9

Mutltipliziere $x^{4} + y^{2}$ mit $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}} d x + \frac{x^{4} + y^{2}}{x^{3}} d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x^{4} + y^{2}}{x^{3}} d y$

Schritt 8

Integriere $N (x, y) = \frac{x^{4} + y^{2}}{x^{3}}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 8.1

Da $\frac{1}{x^{3}}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $\frac{1}{x^{3}}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} \int x^{4} + y^{2} d y$

Schritt 8.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (\int x^{4} d y + \int y^{2} d y)$

Schritt 8.3

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + C + \int y^{2} d y)$

Schritt 8.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + C + \frac{1}{3} y^{3} + C)$

Schritt 8.5

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + C + \frac{y^{3}}{3} + C)$

Schritt 8.6

Vereinfache.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{1}{3} y^{3}) + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{1}{3} y^{3}) + g (x)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{1}{3} y^{3}) + g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{1}{3} y^{3}) + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{1}{3} y^{3})] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{1}{3} y^{3})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Schritt 11.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{1}{3} y^{3})]$ .

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Schritt 11.3.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $y^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Schritt 11.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \frac{1}{x^{3}}$ und $g (x) = x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}$ .

$\frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}] + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Schritt 11.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4} y] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{3}]$ .

$\frac{1}{x^{3}} (\frac{d}{d x} [x^{4} y] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{3}]) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Schritt 11.3.4

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x^{4} y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{x^{3}} (y \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{3}]) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Schritt 11.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{1}{x^{3}} (y (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{3}]) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Schritt 11.3.6

Da $\frac{y^{3}}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{y^{3}}{3}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{x^{3}} (y (4 x^{3}) + 0) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Schritt 11.3.7

Schreibe $\frac{1}{x^{3}}$ als ${(x^{3})}^{- 1}$ um.

$\frac{1}{x^{3}} (y (4 x^{3}) + 0) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Schritt 11.3.8

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{3}$ .

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Schritt 11.3.8.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{3}$ .

$\frac{1}{x^{3}} (y (4 x^{3}) + 0) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Schritt 11.3.8.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{1}{x^{3}} (y (4 x^{3}) + 0) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Schritt 11.3.8.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{3}$ .

$\frac{1}{x^{3}} (y (4 x^{3}) + 0) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Schritt 11.3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{1}{x^{3}} (y (4 x^{3}) + 0) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Schritt 11.3.10

Bringe $4$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{1}{x^{3}} (4 \cdot y x^{3} + 0) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Schritt 11.3.11

Addiere $4 y x^{3}$ und $0$ .

$\frac{1}{x^{3}} (4 y x^{3}) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Schritt 11.3.12

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{4}{x^{3}} (y x^{3}) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Schritt 11.3.13

Kombiniere $y$ und $\frac{4}{x^{3}}$ .

$\frac{y \cdot 4}{x^{3}} x^{3} + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Schritt 11.3.14

Kombiniere $\frac{y \cdot 4}{x^{3}}$ und $x^{3}$ .

$\frac{y \cdot 4 x^{3}}{x^{3}} + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Schritt 11.3.15

Bringe $4$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{4 \cdot y x^{3}}{x^{3}} + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Schritt 11.3.16

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 11.3.16.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y x^{3}}{x^{3}} + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Schritt 11.3.16.2

Dividiere $4 y$ durch $1$ .

$4 y + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Schritt 11.3.17

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Schritt 11.3.17.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 y + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Schritt 11.3.17.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$4 y + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Schritt 11.3.18

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$4 y + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Schritt 11.3.19

Multipliziere $x^{- 6}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.3.19.1

Bewege $x^{2}$ .

$4 y + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Schritt 11.3.19.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 y + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Schritt 11.3.19.3

Subtrahiere $6$ von $2$ .

$4 y + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Schritt 11.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$4 y + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- 3 x^{- 4}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Schritt 11.5

Vereinfache.

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Schritt 11.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 y + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Schritt 11.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 y + x^{4} y (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Schritt 11.5.3

Vereine die Terme

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Schritt 11.5.3.1

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{x^{4}}$ .

$4 y + x^{4} y \frac{- 3}{x^{4}} + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Schritt 11.5.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 y + x^{4} y (- \frac{3}{x^{4}}) + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Schritt 11.5.3.3

Kombiniere $x^{4}$ und $\frac{3}{x^{4}}$ .

$4 y + y (- \frac{x^{4} \cdot 3}{x^{4}}) + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Schritt 11.5.3.4

Kombiniere $y$ und $\frac{x^{4} \cdot 3}{x^{4}}$ .

$4 y - \frac{y (x^{4} \cdot 3)}{x^{4}} + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Schritt 11.5.3.5

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{4}$ .

$4 y - \frac{y (3 \cdot x^{4})}{x^{4}} + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Schritt 11.5.3.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $y$ .

$4 y - \frac{3 \cdot y x^{4}}{x^{4}} + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Schritt 11.5.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{4}$ .

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Schritt 11.5.3.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 y - \frac{3 y x^{4}}{x^{4}} + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Schritt 11.5.3.7.2

Dividiere $3 y$ durch $1$ .

$4 y - (3 y) + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Schritt 11.5.3.8

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$4 y - 3 y + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Schritt 11.5.3.9

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{x^{4}}$ .

$4 y - 3 y + \frac{y^{3}}{3} \cdot \frac{- 3}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Schritt 11.5.3.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 y - 3 y + \frac{y^{3}}{3} (- \frac{3}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Schritt 11.5.3.11

Mutltipliziere $\frac{y^{3}}{3}$ mit $\frac{3}{x^{4}}$ .

$4 y - 3 y - \frac{y^{3} \cdot 3}{3 x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Schritt 11.5.3.12

Bringe $3$ auf die linke Seite von $y^{3}$ .

$4 y - 3 y - \frac{3 \cdot y^{3}}{3 x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Schritt 11.5.3.13

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 11.5.3.13.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 y - 3 y - \frac{3 y^{3}}{3 x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Schritt 11.5.3.13.2

Forme den Ausdruck um.

$4 y - 3 y - \frac{y^{3}}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Schritt 11.5.3.14

Subtrahiere $3 y$ von $4 y$ .

$y - \frac{y^{3}}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Schritt 11.5.4

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} + y - \frac{y^{3}}{x^{4}} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Schritt 12

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 12.1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 12.1.1

Subtrahiere $\frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} + y - \frac{y^{3}}{x^{4}} - \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}} = 0$

Schritt 12.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}} = 0$

Schritt 12.1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} + (- y x^{2} - y \cdot y) (x^{2} - y)}{x^{4}} = 0$

Schritt 12.1.3.2

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 12.1.3.2.1

Bewege $y$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} + (- y x^{2} - (y \cdot y)) (x^{2} - y)}{x^{4}} = 0$

Schritt 12.1.3.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} + (- y x^{2} - y^{2}) (x^{2} - y)}{x^{4}} = 0$

Schritt 12.1.3.3

Multipliziere $(- y x^{2} - y^{2}) (x^{2} - y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 12.1.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{2} (x^{2} - y) - y^{2} (x^{2} - y)}{x^{4}} = 0$

Schritt 12.1.3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{2} x^{2} - y x^{2} (- y) - y^{2} (x^{2} - y)}{x^{4}} = 0$

Schritt 12.1.3.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{2} x^{2} - y x^{2} (- y) - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y)}{x^{4}} = 0$

Schritt 12.1.3.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 12.1.3.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.3.4.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 12.1.3.4.1.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y (x^{2} x^{2}) - y x^{2} (- y) - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y)}{x^{4}} = 0$

Schritt 12.1.3.4.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{2 + 2} - y x^{2} (- y) - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y)}{x^{4}} = 0$

Schritt 12.1.3.4.1.1.3

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} - y x^{2} (- y) - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y)}{x^{4}} = 0$

Schritt 12.1.3.4.1.2

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 12.1.3.4.1.2.1

Bewege $y$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} - (y \cdot y) x^{2} \cdot - 1 - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y)}{x^{4}} = 0$

Schritt 12.1.3.4.1.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} - y^{2} x^{2} \cdot - 1 - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y)}{x^{4}} = 0$

Schritt 12.1.3.4.1.3

Multipliziere $- y^{2} x^{2} \cdot - 1$ .

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Schritt 12.1.3.4.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + 1 y^{2} x^{2} - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y)}{x^{4}} = 0$

Schritt 12.1.3.4.1.3.2

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + y^{2} x^{2} - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y)}{x^{4}} = 0$

Schritt 12.1.3.4.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + y^{2} x^{2} - y^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 y^{2} y}{x^{4}} = 0$

Schritt 12.1.3.4.1.5

Multipliziere $y^{2}$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 12.1.3.4.1.5.1

Bewege $y$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + y^{2} x^{2} - y^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 (y \cdot y^{2})}{x^{4}} = 0$

Schritt 12.1.3.4.1.5.2

Mutltipliziere $y$ mit $y^{2}$ .

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Schritt 12.1.3.4.1.5.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + y^{2} x^{2} - y^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 (y^{1} y^{2})}{x^{4}} = 0$

Schritt 12.1.3.4.1.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + y^{2} x^{2} - y^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 y^{1 + 2}}{x^{4}} = 0$

Schritt 12.1.3.4.1.5.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + y^{2} x^{2} - y^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 y^{3}}{x^{4}} = 0$

Schritt 12.1.3.4.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + y^{2} x^{2} - y^{2} x^{2} + 1 y^{3}}{x^{4}} = 0$

Schritt 12.1.3.4.1.7

Mutltipliziere $y^{3}$ mit $1$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + y^{2} x^{2} - y^{2} x^{2} + y^{3}}{x^{4}} = 0$

Schritt 12.1.3.4.2

Subtrahiere $y^{2} x^{2}$ von $y^{2} x^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + 0 + y^{3}}{x^{4}} = 0$

Schritt 12.1.3.4.3

Addiere $- y x^{4}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + y^{3}}{x^{4}} = 0$

Schritt 12.1.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- y^{3} - y x^{4} + y^{3}$ .

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Schritt 12.1.4.1

Addiere $- y^{3}$ und $y^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y x^{4} + 0}{x^{4}} = 0$

Schritt 12.1.4.2

Addiere $- y x^{4}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y x^{4}}{x^{4}} = 0$

Schritt 12.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{4}$ .

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Schritt 12.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y x^{4}}{x^{4}} = 0$

Schritt 12.1.5.2

Dividiere $- y$ durch $1$ .

$\frac{d g}{d x} + y - y = 0$

Schritt 12.1.6

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\frac{d g}{d x} + y - y$ .

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Schritt 12.1.6.1

Subtrahiere $y$ von $y$ .

$\frac{d g}{d x} + 0 = 0$

Schritt 12.1.6.2

Addiere $\frac{d g}{d x}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $0$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Schritt 13.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Schritt 13.3

Das Integral von $0$ nach $x$ ist $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Schritt 13.4

Addiere $0$ und $C$ .

$g (x) = C$

Schritt 14

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{1}{3} y^{3}) + g (x)$ ein.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{1}{3} y^{3}) + C$

Schritt 15

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) + C$

Schritt 15.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{3}}$ mit $x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}}{x^{3}} + C$

Schritt 15.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.3.1

Faktorisiere $y$ aus $x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}$ heraus.

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Schritt 15.3.1.1

Faktorisiere $y$ aus $x^{4} y$ heraus.

$f (x, y) = \frac{y x^{4} + \frac{y^{3}}{3}}{x^{3}} + C$

Schritt 15.3.1.2

Faktorisiere $y$ aus $\frac{y^{3}}{3}$ heraus.

$f (x, y) = \frac{y x^{4} + y \frac{y^{2}}{3}}{x^{3}} + C$

Schritt 15.3.1.3

Faktorisiere $y$ aus $y x^{4} + y \frac{y^{2}}{3}$ heraus.

$f (x, y) = \frac{y (x^{4} + \frac{y^{2}}{3})}{x^{3}} + C$

Schritt 15.3.2

Um $x^{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{y (x^{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{y^{2}}{3})}{x^{3}} + C$

Schritt 15.3.3

Kombiniere $x^{4}$ und $\frac{3}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{y (\frac{x^{4} \cdot 3}{3} + \frac{y^{2}}{3})}{x^{3}} + C$

Schritt 15.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (x, y) = \frac{y \frac{x^{4} \cdot 3 + y^{2}}{3}}{x^{3}} + C$

Schritt 15.3.5

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{y \frac{3 x^{4} + y^{2}}{3}}{x^{3}} + C$

Schritt 15.4

Kombiniere $y$ und $\frac{3 x^{4} + y^{2}}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{\frac{y (3 x^{4} + y^{2})}{3}}{x^{3}} + C$

Schritt 15.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (x, y) = \frac{y (3 x^{4} + y^{2})}{3} \cdot \frac{1}{x^{3}} + C$

Schritt 15.6

Kombinieren.

$f (x, y) = \frac{y (3 x^{4} + y^{2}) \cdot 1}{3 x^{3}} + C$

Schritt 15.7

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$f (x, y) = \frac{y (3 x^{4} + y^{2})}{3 x^{3}} + C$