Analysis Beispiele

$y^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y^{3} = 6 x$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Löse nach $\frac{d y}{d x}$ auf.

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Schritt 1.1.1

Subtrahiere $2 x y^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = 6 x - 2 x y^{3}$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $y^{2} \frac{d y}{d x} = 6 x - 2 x y^{3}$ durch $y^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $y^{2} \frac{d y}{d x} = 6 x - 2 x y^{3}$ durch $y^{2}$ .

$\frac{y^{2} \frac{d y}{d x}}{y^{2}} = \frac{6 x}{y^{2}} + \frac{- 2 x y^{3}}{y^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2} \frac{d y}{d x}}{y^{2}} = \frac{6 x}{y^{2}} + \frac{- 2 x y^{3}}{y^{2}}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x}{y^{2}} + \frac{- 2 x y^{3}}{y^{2}}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{3}$ und $y^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $- 2 x y^{3}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x}{y^{2}} + \frac{y^{2} (- 2 x y)}{y^{2}}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.3.1.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x}{y^{2}} + \frac{y^{2} (- 2 x y)}{y^{2} \cdot 1}$

Schritt 1.1.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x}{y^{2}} + \frac{y^{2} (- 2 x y)}{y^{2} \cdot 1}$

Schritt 1.1.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x}{y^{2}} + \frac{- 2 x y}{1}$

Schritt 1.1.2.3.1.2.4

Dividiere $- 2 x y$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x}{y^{2}} - 2 x y$

Schritt 1.2

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $2 x$ aus $\frac{6 x}{y^{2}} - 2 x y$ heraus.

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Schritt 1.2.1.1

Faktorisiere $2 x$ aus $\frac{6 x}{y^{2}}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = 2 x \frac{3}{y^{2}} - 2 x y$

Schritt 1.2.1.2

Faktorisiere $2 x$ aus $- 2 x y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = 2 x \frac{3}{y^{2}} + 2 x (- 1 y)$

Schritt 1.2.1.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x \frac{3}{y^{2}} + 2 x (- 1 y)$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = 2 x (\frac{3}{y^{2}} - 1 y)$

Schritt 1.2.2

Schreibe $- 1 y$ als $- y$ um.

$\frac{d y}{d x} = 2 x (\frac{3}{y^{2}} - y)$

Schritt 1.2.3

Um $- y$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x (\frac{3}{y^{2}} - y \cdot \frac{y^{2}}{y^{2}})$

Schritt 1.2.4

Kombiniere $- y$ und $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x (\frac{3}{y^{2}} + \frac{- y \cdot y^{2}}{y^{2}})$

Schritt 1.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d y}{d x} = 2 x \frac{3 - y \cdot y^{2}}{y^{2}}$

Schritt 1.2.6

Multipliziere $y$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.6.1

Bewege $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x \frac{3 - (y^{2} y)}{y^{2}}$

Schritt 1.2.6.2

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $y$ .

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Schritt 1.2.6.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x \frac{3 - (y^{2} y^{1})}{y^{2}}$

Schritt 1.2.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d y}{d x} = 2 x \frac{3 - y^{2 + 1}}{y^{2}}$

Schritt 1.2.6.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x \frac{3 - y^{3}}{y^{2}}$

Schritt 1.2.7

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 1.2.7.1

Kombiniere $2$ und $\frac{3 - y^{3}}{y^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{2 (3 - y^{3})}{y^{2}}$

Schritt 1.2.7.2

Kombiniere $x$ und $\frac{2 (3 - y^{3})}{y^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (2 (3 - y^{3}))}{y^{2}}$

Schritt 1.2.8

Entferne unnötige Klammern.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (3 - y^{3})}{y^{2}}$

Schritt 1.2.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot x (3 - y^{3})}{y^{2}}$

Schritt 1.2.10

Mutltipliziere $2$ mit $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (3 - y^{3})}{y^{2}}$

Schritt 1.3

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = 2 x \frac{3 - y^{3}}{y^{2}}$

Schritt 1.4

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{y^{2}}{3 - y^{3}}$ .

$\frac{y^{2}}{3 - y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{3 - y^{3}} (2 x \frac{3 - y^{3}}{y^{2}})$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{y^{2}}{3 - y^{3}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{y^{2}}{3 - y^{3}} (x \frac{3 - y^{3}}{y^{2}})$

Schritt 1.5.2

Kombiniere $2$ und $\frac{y^{2}}{3 - y^{3}}$ .

$\frac{y^{2}}{3 - y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2}}{3 - y^{3}} (x \frac{3 - y^{3}}{y^{2}})$

Schritt 1.5.3

Kombiniere $x$ und $\frac{3 - y^{3}}{y^{2}}$ .

$\frac{y^{2}}{3 - y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2}}{3 - y^{3}} \cdot \frac{x (3 - y^{3})}{y^{2}}$

Schritt 1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 1.5.4.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $2 y^{2}$ heraus.

$\frac{y^{2}}{3 - y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} \cdot 2}{3 - y^{3}} \cdot \frac{x (3 - y^{3})}{y^{2}}$

Schritt 1.5.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2}}{3 - y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} \cdot 2}{3 - y^{3}} \cdot \frac{x (3 - y^{3})}{y^{2}}$

Schritt 1.5.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{2}}{3 - y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{3 - y^{3}} (x (3 - y^{3}))$

Schritt 1.5.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 - y^{3}$ .

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Schritt 1.5.5.1

Faktorisiere $3 - y^{3}$ aus $x (3 - y^{3})$ heraus.

$\frac{y^{2}}{3 - y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{3 - y^{3}} ((3 - y^{3}) x)$

Schritt 1.5.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2}}{3 - y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{3 - y^{3}} ((3 - y^{3}) x)$

Schritt 1.5.5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{2}}{3 - y^{3}} \frac{d y}{d x} = 2 x$

Schritt 1.6

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{y^{2}}{3 - y^{3}} d y = 2 x d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{y^{2}}{3 - y^{3}} d y = \int 2 x d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $y^{3}$ als ${(y^{3})}^{1}$ um.

$\int \frac{y^{2}}{3 - {(y^{3})}^{1}} d y = \int 2 x d x$

Schritt 2.2.2

Sei $u_{1} = y^{3}$ . Dann ist $d u_{1} = 3 y^{2} d y$ , folglich $\frac{1}{3} d u_{1} = y^{2} d y$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Es sei $u_{1} = y^{3}$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Differenziere $y^{3}$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3}]$

Schritt 2.2.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 y^{2}$

Schritt 2.2.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \frac{1}{3 - {u_{1}}^{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1} = \int 2 x d x$

Schritt 2.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.1

Vereinfache.

$\int \frac{1}{3 - u_{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1} = \int 2 x d x$

Schritt 2.2.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3 - u_{1}}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{(3 - u_{1}) \cdot 3} d u_{1} = \int 2 x d x$

Schritt 2.2.3.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $3 - u_{1}$ .

$\int \frac{1}{3 (3 - u_{1})} d u_{1} = \int 2 x d x$

Schritt 2.2.4

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{3 - u_{1}} d u_{1} = \int 2 x d x$

Schritt 2.2.5

Sei $u_{2} = 3 - u_{1}$ . Dann ist $d u_{2} = - d u_{1}$ , folglich $- d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.2.5.1

Es sei $u_{2} = 3 - u_{1}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 2.2.5.1.1

Forme um.

$\frac{- 1}{1}$

Schritt 2.2.5.1.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- 1$

Schritt 2.2.5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{3} \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2} = \int 2 x d x$

Schritt 2.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{3} \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int 2 x d x$

Schritt 2.2.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} (- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}) = \int 2 x d x$

Schritt 2.2.8

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{3} (- (\ln (| u_{2} |) + C_{1})) = \int 2 x d x$

Schritt 2.2.9

Vereinfache.

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Schritt 2.2.9.1

Vereinfache.

$\frac{1}{3} (- \ln (| u_{2} |)) + C_{1} = \int 2 x d x$

Schritt 2.2.9.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{\ln (| u_{2} |)}{3} + C_{1} = \int 2 x d x$

Schritt 2.2.10

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 2.2.10.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch $3 - u_{1}$ .

$- \frac{\ln (| 3 - u_{1} |)}{3} + C_{1} = \int 2 x d x$

Schritt 2.2.10.2

Ersetze alle $u_{1}$ durch $y^{3}$ .

$- \frac{\ln (| 3 - y^{3} |)}{3} + C_{1} = \int 2 x d x$

Schritt 2.2.11

Stelle die Terme um.

$- \frac{1}{3} \ln (| 3 - y^{3} |) + C_{1} = \int 2 x d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{3} \ln (| 3 - y^{3} |) + C_{1} = 2 \int x d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| 3 - y^{3} |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ als $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ um.

$- \frac{1}{3} \ln (| 3 - y^{3} |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| 3 - y^{3} |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{3} \ln (| 3 - y^{3} |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{3} \ln (| 3 - y^{3} |) + C_{1} = 1 x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| 3 - y^{3} |) + C_{1} = x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- \frac{1}{3} \ln (| 3 - y^{3} |) = x^{2} + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- 3$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 3 - y^{3} |)) = - 3 (x^{2} + C)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 3 - y^{3} |))$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\ln (| 3 - y^{3} |)$ und $\frac{1}{3}$ .

$- 3 (- \frac{\ln (| 3 - y^{3} |)}{3}) = - 3 (x^{2} + C)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\ln (| 3 - y^{3} |)}{3}$ in den Zähler.

$- 3 \frac{- \ln (| 3 - y^{3} |)}{3} = - 3 (x^{2} + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$3 (- 1) \frac{- \ln (| 3 - y^{3} |)}{3} = - 3 (x^{2} + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 3 - y^{3} |)}{3} = - 3 (x^{2} + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$- - \ln (| 3 - y^{3} |) = - 3 (x^{2} + C)$

Schritt 3.2.1.1.3

Multipliziere.

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Schritt 3.2.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \ln (| 3 - y^{3} |) = - 3 (x^{2} + C)$

Schritt 3.2.1.1.3.2

Mutltipliziere $\ln (| 3 - y^{3} |)$ mit $1$ .

$\ln (| 3 - y^{3} |) = - 3 (x^{2} + C)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| 3 - y^{3} |) = - 3 x^{2} - 3 C$

Schritt 3.3

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| 3 - y^{3} |)} = e^{- 3 x^{2} - 3 C}$

Schritt 3.4

Schreibe $\ln (| 3 - y^{3} |) = - 3 x^{2} - 3 C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- 3 x^{2} - 3 C} = | 3 - y^{3} |$

Schritt 3.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.1

Schreibe die Gleichung als $| 3 - y^{3} | = e^{- 3 x^{2} - 3 C}$ um.

$| 3 - y^{3} | = e^{- 3 x^{2} - 3 C}$

Schritt 3.5.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$3 - y^{3} = \pm e^{- 3 x^{2} - 3 C}$

Schritt 3.5.3

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y^{3} = \pm e^{- 3 x^{2} - 3 C} - 3$

Schritt 3.5.4

Teile jeden Ausdruck in $- y^{3} = \pm e^{- 3 x^{2} - 3 C} - 3$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- y^{3} = \pm e^{- 3 x^{2} - 3 C} - 3$ durch $- 1$ .

$\frac{- y^{3}}{- 1} = \frac{\pm e^{- 3 x^{2} - 3 C}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 3.5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.4.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y^{3}}{1} = \frac{\pm e^{- 3 x^{2} - 3 C}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 3.5.4.2.2

Dividiere $y^{3}$ durch $1$ .

$y^{3} = \frac{\pm e^{- 3 x^{2} - 3 C}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 3.5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.4.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\pm e^{- 3 x^{2} - 3 C}}{- 1}$ .

$y^{3} = - 1 \cdot (\pm e^{- 3 x^{2} - 3 C}) + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 3.5.4.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot (\pm e^{- 3 x^{2} - 3 C})$ als $- (\pm e^{- 3 x^{2} - 3 C})$ um.

$y^{3} = - (\pm e^{- 3 x^{2} - 3 C}) + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 3.5.4.3.1.3

Dividiere $- 3$ durch $- 1$ .

$y^{3} = - (\pm e^{- 3 x^{2} - 3 C}) + 3$

Schritt 3.5.5

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[3]{- (\pm e^{- 3 x^{2} - 3 C}) + 3}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \sqrt[3]{- (\pm e^{- 3 x^{2} + C}) + 3}$

Schritt 4.2

Schreibe $e^{- 3 x^{2} + C}$ als $e^{- 3 x^{2}} e^{C}$ um.

$y = \sqrt[3]{- (\pm e^{- 3 x^{2}} e^{C}) + 3}$

Schritt 4.3

Stelle $e^{- 3 x^{2}}$ und $e^{C}$ um.

$y = \sqrt[3]{- (\pm e^{C} e^{- 3 x^{2}}) + 3}$

Schritt 4.4

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = \sqrt[3]{- (C e^{- 3 x^{2}}) + 3}$