Analysis Beispiele

$(1 + e^{x}) \frac{d y}{d x} + e^{x} y = 0$

Schritt 1

Prüfe, ob die linke Seite der Gleichung das Ergebnis der Ableitung des Ausdrucks $(1 + e^{x}) y$ ist.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 1 + e^{x}$ und $g (x) = y$ .

$(1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Schritt 1.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$(1 + e^{x}) y' + y \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Schritt 1.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$(1 + e^{x}) y' + y (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Schritt 1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(1 + e^{x}) y' + y (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Schritt 1.5

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$(1 + e^{x}) y' + y (0 + e^{x})$

Schritt 1.6

Addiere $0$ und $e^{x}$ .

$(1 + e^{x}) y' + y e^{x}$

Schritt 1.7

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$(1 + e^{x}) \frac{d y}{d x} + y e^{x}$

Schritt 2

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [(1 + e^{x}) y] = 0$

Schritt 3

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [(1 + e^{x}) y] d x = \int 0 d x$

Schritt 4

Integriere die linke Seite.

$(1 + e^{x}) y = \int 0 d x$

Schritt 5

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 5.1

Das Integral von $0$ nach $x$ ist $0$ .

$(1 + e^{x}) y = 0 + C$

Schritt 5.2

Addiere $0$ und $C$ .

$(1 + e^{x}) y = C$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in $(1 + e^{x}) y = C$ durch $1 + e^{x}$ und vereinfache.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $(1 + e^{x}) y = C$ durch $1 + e^{x}$ .

$\frac{(1 + e^{x}) y}{1 + e^{x}} = \frac{C}{1 + e^{x}}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + e^{x}$ .

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(1 + e^{x}) y}{1 + e^{x}} = \frac{C}{1 + e^{x}}$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{C}{1 + e^{x}}$