Analysis Beispiele

$x \sqrt{x^{2} + 1} - y e^{y} \frac{d y}{d x} = 0$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Löse nach $\frac{d y}{d x}$ auf.

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Schritt 1.1.1

Stelle die Faktoren in $x \sqrt{x^{2} + 1} - y e^{y} \frac{d y}{d x}$ um.

$x \sqrt{x^{2} + 1} - y \frac{d y}{d x} e^{y} = 0$

Schritt 1.1.2

Subtrahiere $x \sqrt{x^{2} + 1}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y \frac{d y}{d x} e^{y} = - x \sqrt{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.3

Teile jeden Ausdruck in $- y \frac{d y}{d x} e^{y} = - x \sqrt{x^{2} + 1}$ durch $- y e^{y}$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- y \frac{d y}{d x} e^{y} = - x \sqrt{x^{2} + 1}$ durch $- y e^{y}$ .

$\frac{- y \frac{d y}{d x} e^{y}}{- y e^{y}} = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{- y e^{y}}$

Schritt 1.1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y \frac{d y}{d x} e^{y}}{y e^{y}} = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{- y e^{y}}$

Schritt 1.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.1.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \frac{d y}{d x} e^{y}}{y e^{y}} = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{- y e^{y}}$

Schritt 1.1.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{d y}{d x} e^{y}}{e^{y}} = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{- y e^{y}}$

Schritt 1.1.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{y}$ .

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Schritt 1.1.3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d y}{d x} e^{y}}{e^{y}} = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{- y e^{y}}$

Schritt 1.1.3.2.3.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{- y e^{y}}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{y e^{y}}$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $y e^{y}$ .

$y e^{y} \frac{d y}{d x} = y e^{y} \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{y e^{y}}$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y e^{y}$ .

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y e^{y} \frac{d y}{d x} = y e^{y} \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{y e^{y}}$

Schritt 1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$y e^{y} \frac{d y}{d x} = x \sqrt{x^{2} + 1}$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$y e^{y} d y = x \sqrt{x^{2} + 1} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y e^{y} d y = \int x \sqrt{x^{2} + 1} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = y$ und $d v = e^{y}$ .

$y e^{y} - \int e^{y} d y = \int x \sqrt{x^{2} + 1} d x$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $e^{y}$ nach $y$ ist $e^{y}$ .

$y e^{y} - (e^{y} + C_{1}) = \int x \sqrt{x^{2} + 1} d x$

Schritt 2.2.3

Vereinfache.

$y e^{y} - e^{y} + C_{1} = \int x \sqrt{x^{2} + 1} d x$

Schritt 2.2.4

Stelle die Terme um.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \int x \sqrt{x^{2} + 1} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Sei $u = x^{2} + 1$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.1.1

Es sei $u = x^{2} + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Differenziere $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 2.3.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3.1.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0$

Schritt 2.3.1.1.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \int \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.3.2

Kombiniere $\sqrt{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Schritt 2.3.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u$

Schritt 2.3.4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 2.3.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

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Schritt 2.3.6.1

Schreibe $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$ als $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$ um.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.6.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.6.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{2}{3}$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \frac{2}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.6.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \frac{2}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.6.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $6$ .

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Schritt 2.3.6.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \frac{2 (1)}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.6.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.6.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.6.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.6.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.7

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \frac{1}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$e^{y} y - e^{y} = \frac{1}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} + K$