Analysis Beispiele

$(x + 1) \frac{d y}{d x} = x (y^{2} + 1)$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $(x + 1) \frac{d y}{d x} = x (y^{2} + 1)$ durch $x + 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.1

Teile jeden Ausdruck in $(x + 1) \frac{d y}{d x} = x (y^{2} + 1)$ durch $x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} = \frac{x (y^{2} + 1)}{x + 1}$

Schritt 1.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 1.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} = \frac{x (y^{2} + 1)}{x + 1}$

Schritt 1.1.2.1.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y^{2} + 1)}{x + 1}$

Schritt 1.2

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x + 1} (y^{2} + 1)$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} (\frac{x}{x + 1} (y^{2} + 1))$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2} + 1$ .

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $y^{2} + 1$ aus $\frac{x}{x + 1} (y^{2} + 1)$ heraus.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} ((y^{2} + 1) \frac{x}{x + 1})$

Schritt 1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} ((y^{2} + 1) \frac{x}{x + 1})$

Schritt 1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{x + 1}$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = \frac{x}{x + 1} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.1.1

Stelle $y^{2}$ und $1$ um.

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ nach $y$ ist $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Dividiere $x$ durch $x + 1$ .

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Schritt 2.3.1.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Schritt 2.3.1.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Schritt 2.3.1.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

Schritt 2.3.1.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x + 1$

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

Schritt 2.3.1.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

Schritt 2.3.1.6

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\arctan (y) + C_{1} = \int 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

Schritt 2.3.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\arctan (y) + C_{1} = \int d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Schritt 2.3.3

Wende die Konstantenregel an.

$\arctan (y) + C_{1} = x + C_{2} + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Schritt 2.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\arctan (y) + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{1}{x + 1} d x$

Schritt 2.3.5

Sei $u = x + 1$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.5.1

Es sei $u = x + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.5.1.1

Differenziere $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 2.3.5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3.5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3.5.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.3.5.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.3.5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\arctan (y) + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.3.6

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\arctan (y) + C_{1} = x + C_{2} - (\ln (| u |) + C_{3})$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

$\arctan (y) + C_{1} = x - \ln (| u |) + C_{4}$

Schritt 2.3.8

Ersetze alle $u$ durch $x + 1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = x - \ln (| x + 1 |) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\arctan (y) = x - \ln (| x + 1 |) + C$

Schritt 3

Ziehe den inversen Arkustangens auf beiden Seiten der Gleichung, um $y$ aus dem Inneren des Arkustangens zu extrahieren.

$y = \tan (x - \ln (| x + 1 |) + C)$