Analysis Beispiele

$\frac{d s}{d t} = 8 \sin^{2} (t - \frac{π}{12})$ , $s (0) = 3$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d s = 8 \sin^{2} (t - \frac{π}{12}) d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d s = \int 8 \sin^{2} (t - \frac{π}{12}) d t$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$s + C_{1} = \int 8 \sin^{2} (t - \frac{π}{12}) d t$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $8$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $8$ aus dem Integral.

$s + C_{1} = 8 \int \sin^{2} (t - \frac{π}{12}) d t$

Schritt 2.3.2

Sei $u_{1} = t - \frac{π}{12}$ . Dann ist $d u_{1} = d t$ . Forme um unter Vewendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.3.2.1

Es sei $u_{1} = t - \frac{π}{12}$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Differenziere $t - \frac{π}{12}$ .

$\frac{d}{d t} [t - \frac{π}{12}]$

Schritt 2.3.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t - \frac{π}{12}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- \frac{π}{12}]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- \frac{π}{12}]$

Schritt 2.3.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [- \frac{π}{12}]$

Schritt 2.3.2.1.4

Da $- \frac{π}{12}$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{π}{12}$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.3.2.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$s + C_{1} = 8 \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 2.3.3

Benutze die Halbwinkelformel, um $\sin^{2} (u_{1})$ als $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ neu zu schreiben.

$s + C_{1} = 8 \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Schritt 2.3.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$s + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $8$ .

$s + C_{1} = \frac{8}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Schritt 2.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $2$ .

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Schritt 2.3.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Schritt 2.3.5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.5.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Schritt 2.3.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Schritt 2.3.5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$s + C_{1} = \frac{4}{1} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Schritt 2.3.5.2.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$s + C_{1} = 4 \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Schritt 2.3.6

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$s + C_{1} = 4 (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Schritt 2.3.7

Wende die Konstantenregel an.

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Schritt 2.3.8

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Schritt 2.3.9

Sei $u_{2} = 2 u_{1}$ . Dann ist $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.3.9.1

Es sei $u_{2} = 2 u_{1}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 2.3.9.1.1

Differenziere $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Schritt 2.3.9.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $2 u_{1}$ nach $u_{1}$ gleich $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Schritt 2.3.9.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 2.3.9.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 2.3.9.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Schritt 2.3.10

Kombiniere $\cos (u_{2})$ und $\frac{1}{2}$ .

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Schritt 2.3.11

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Schritt 2.3.12

Das Integral von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sin (u_{2})$ .

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C_{3}))$

Schritt 2.3.13

Vereinfache.

$s + C_{1} = 4 (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C_{4}$

Schritt 2.3.14

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 2.3.14.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $t - \frac{π}{12}$ .

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C_{4}$

Schritt 2.3.14.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 u_{1}$ .

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C_{4}$

Schritt 2.3.14.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $t - \frac{π}{12}$ .

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 (t - \frac{π}{12}))) + C_{4}$

Schritt 2.3.15

Vereinfache.

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Schritt 2.3.15.1

Wende das Distributivgesetz an.

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + 2 (- \frac{π}{12}))) + C_{4}$

Schritt 2.3.15.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.15.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{π}{12}$ in den Zähler.

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + 2 \frac{- π}{12})) + C_{4}$

Schritt 2.3.15.2.2

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + 2 \frac{- π}{2 (6)})) + C_{4}$

Schritt 2.3.15.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + 2 \frac{- π}{2 \cdot 6})) + C_{4}$

Schritt 2.3.15.2.4

Forme den Ausdruck um.

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + \frac{- π}{6})) + C_{4}$

Schritt 2.3.15.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t - \frac{π}{6})) + C_{4}$

Schritt 2.3.15.4

Kombiniere $\sin (2 t - \frac{π}{6})$ und $\frac{1}{2}$ .

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{\sin (2 t - \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Schritt 2.3.15.5

Wende das Distributivgesetz an.

$s + C_{1} = 4 t + 4 (- \frac{π}{12}) + 4 (- \frac{\sin (2 t - \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Schritt 2.3.15.6

Vereinfache.

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Schritt 2.3.15.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.3.15.6.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{π}{12}$ in den Zähler.

$s + C_{1} = 4 t + 4 \frac{- π}{12} + 4 (- \frac{\sin (2 t - \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Schritt 2.3.15.6.1.2

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$s + C_{1} = 4 t + 4 \frac{- π}{4 (3)} + 4 (- \frac{\sin (2 t - \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Schritt 2.3.15.6.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$s + C_{1} = 4 t + 4 \frac{- π}{4 \cdot 3} + 4 (- \frac{\sin (2 t - \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Schritt 2.3.15.6.1.4

Forme den Ausdruck um.

$s + C_{1} = 4 t + \frac{- π}{3} + 4 (- \frac{\sin (2 t - \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Schritt 2.3.15.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.15.6.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sin (2 t - \frac{π}{6})}{2}$ in den Zähler.

$s + C_{1} = 4 t + \frac{- π}{3} + 4 \frac{- \sin (2 t - \frac{π}{6})}{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.15.6.2.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$s + C_{1} = 4 t + \frac{- π}{3} + 2 (2) \frac{- \sin (2 t - \frac{π}{6})}{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.15.6.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$s + C_{1} = 4 t + \frac{- π}{3} + 2 \cdot 2 \frac{- \sin (2 t - \frac{π}{6})}{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.15.6.2.4

Forme den Ausdruck um.

$s + C_{1} = 4 t + \frac{- π}{3} + 2 (- \sin (2 t - \frac{π}{6})) + C_{4}$

Schritt 2.3.15.6.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$s + C_{1} = 4 t + \frac{- π}{3} - 2 \sin (2 t - \frac{π}{6}) + C_{4}$

Schritt 2.3.15.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$s + C_{1} = 4 t - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t - \frac{π}{6}) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$s = 4 t - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t - \frac{π}{6}) + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $0$ für $t$ und $3$ für $s$ in $s = 4 t - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t - \frac{π}{6}) + K$ ersetzt wird.

$3 = 4 \cdot 0 - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 - \frac{π}{6}) + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $4 \cdot 0 - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 - \frac{π}{6}) + K = 3$ um.

$4 \cdot 0 - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 - \frac{π}{6}) + K = 3$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $4 \cdot 0 - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 - \frac{π}{6}) + K$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$0 - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 - \frac{π}{6}) + K = 3$

Schritt 4.2.1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$0 - \frac{π}{3} - 2 \sin (0 - \frac{π}{6}) + K = 3$

Schritt 4.2.1.1.3

Subtrahiere $\frac{π}{6}$ von $0$ .

$0 - \frac{π}{3} - 2 \sin (- \frac{π}{6}) + K = 3$

Schritt 4.2.1.1.4

Addiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$0 - \frac{π}{3} - 2 \sin (\frac{11 π}{6}) + K = 3$

Schritt 4.2.1.1.5

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im vierten Quadranten negativ ist.

$0 - \frac{π}{3} - 2 (- \sin (\frac{π}{6})) + K = 3$

Schritt 4.2.1.1.6

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{6})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$0 - \frac{π}{3} - 2 (- \frac{1}{2}) + K = 3$

Schritt 4.2.1.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.1.7.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$0 - \frac{π}{3} - 2 (\frac{- 1}{2}) + K = 3$

Schritt 4.2.1.1.7.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$0 - \frac{π}{3} + 2 (- 1) \frac{- 1}{2} + K = 3$

Schritt 4.2.1.1.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 - \frac{π}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{- 1}{2} + K = 3$

Schritt 4.2.1.1.7.4

Forme den Ausdruck um.

$0 - \frac{π}{3} - 1 \cdot - 1 + K = 3$

Schritt 4.2.1.1.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$0 - \frac{π}{3} + 1 + K = 3$

Schritt 4.2.1.2

Subtrahiere $\frac{π}{3}$ von $0$ .

$- \frac{π}{3} + 1 + K = 3$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Addiere $\frac{π}{3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$1 + K = 3 + \frac{π}{3}$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$K = 3 + \frac{π}{3} - 1$

Schritt 4.3.3

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$K = 2 + \frac{π}{3}$

Schritt 5

Setze $2 + \frac{π}{3}$ für $K$ in $s = 4 t - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t - \frac{π}{6}) + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $2 + \frac{π}{3}$ .

$s = 4 t - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t - \frac{π}{6}) + 2 + \frac{π}{3}$

Schritt 5.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 t - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t - \frac{π}{6}) + 2 + \frac{π}{3}$ .

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Schritt 5.2.1

Addiere $- \frac{π}{3}$ und $\frac{π}{3}$ .

$s = 4 t + 0 - 2 \sin (2 t - \frac{π}{6}) + 2$

Schritt 5.2.2

Addiere $4 t$ und $0$ .

$s = 4 t - 2 \sin (2 t - \frac{π}{6}) + 2$