Analysis Beispiele

$(e^{x} + 1) d x + \frac{y^{2} - 1}{y^{2}} d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $(e^{x} + 1) d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y^{2} - 1}{y^{2}} d y = - (e^{x} + 1) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{y^{2} - 1}{y^{2}} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Bringe $y^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int (y^{2} - 1) {(y^{2})}^{- 1} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Schritt 2.2.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (y^{2} - 1) y^{2 \cdot - 1} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Schritt 2.2.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int (y^{2} - 1) y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Schritt 2.2.2

Multipliziere $(y^{2} - 1) y^{- 2}$ .

$\int y^{2} y^{- 2} - 1 y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Schritt 2.2.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.3.1

Multipliziere $y^{2}$ mit $y^{- 2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.3.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int y^{2 - 2} - 1 y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Schritt 2.2.3.1.2

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\int y^{0} - 1 y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache $y^{0}$ .

$\int 1 - 1 y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Schritt 2.2.3.3

Schreibe $- 1 y^{- 2}$ als $- y^{- 2}$ um.

$\int 1 - y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Schritt 2.2.4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int d y + \int - y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Schritt 2.2.5

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} + \int - y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Schritt 2.2.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} - \int y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Schritt 2.2.7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{- 2}$ nach $y$ gleich $- y^{- 1}$ .

$y + C_{1} - (- y^{- 1} + C_{2}) = \int - (e^{x} + 1) d x$

Schritt 2.2.8

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.8.1

Vereinfache.

$y - - \frac{1}{y} + C_{3} = \int - (e^{x} + 1) d x$

Schritt 2.2.8.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.8.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y + 1 \frac{1}{y} + C_{3} = \int - (e^{x} + 1) d x$

Schritt 2.2.8.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{y}$ mit $1$ .

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = \int - (e^{x} + 1) d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = - \int e^{x} + 1 d x$

Schritt 2.3.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = - (\int e^{x} d x + \int d x)$

Schritt 2.3.3

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = - (e^{x} + C_{4} + \int d x)$

Schritt 2.3.4

Wende die Konstantenregel an.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = - (e^{x} + C_{4} + x + C_{5})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = - (e^{x} + x) + C_{6}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y + \frac{1}{y} = - (e^{x} + x) + K$