Analysis Beispiele

$\frac{d s}{d t} = \frac{(2 t + 1) (2 s - 1)}{2 (t^{2} + t)}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d s}{d t} = \frac{2 t + 1}{2 (t^{2} + t)} (2 s - 1)$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{2 s - 1}$ .

$\frac{1}{2 s - 1} \frac{d s}{d t} = \frac{1}{2 s - 1} (\frac{2 t + 1}{2 (t^{2} + t)} (2 s - 1))$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 s - 1$ .

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Schritt 1.3.1.1

Faktorisiere $2 s - 1$ aus $\frac{2 t + 1}{2 (t^{2} + t)} (2 s - 1)$ heraus.

$\frac{1}{2 s - 1} \frac{d s}{d t} = \frac{1}{2 s - 1} ((2 s - 1) \frac{2 t + 1}{2 (t^{2} + t)})$

Schritt 1.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2 s - 1} \frac{d s}{d t} = \frac{1}{2 s - 1} ((2 s - 1) \frac{2 t + 1}{2 (t^{2} + t)})$

Schritt 1.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2 s - 1} \frac{d s}{d t} = \frac{2 t + 1}{2 (t^{2} + t)}$

Schritt 1.3.2

Faktorisiere $t$ aus $t^{2} + t$ heraus.

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Schritt 1.3.2.1

Faktorisiere $t$ aus $t^{2}$ heraus.

$\frac{1}{2 s - 1} \frac{d s}{d t} = \frac{2 t + 1}{2 (t \cdot t + t)}$

Schritt 1.3.2.2

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\frac{1}{2 s - 1} \frac{d s}{d t} = \frac{2 t + 1}{2 (t \cdot t + t^{1})}$

Schritt 1.3.2.3

Faktorisiere $t$ aus $t^{1}$ heraus.

$\frac{1}{2 s - 1} \frac{d s}{d t} = \frac{2 t + 1}{2 (t \cdot t + t \cdot 1)}$

Schritt 1.3.2.4

Faktorisiere $t$ aus $t \cdot t + t \cdot 1$ heraus.

$\frac{1}{2 s - 1} \frac{d s}{d t} = \frac{2 t + 1}{2 (t (t + 1))}$

$\frac{1}{2 s - 1} \frac{d s}{d t} = \frac{2 t + 1}{2 t (t + 1)}$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{2 s - 1} d s = \frac{2 t + 1}{2 t (t + 1)} d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{2 s - 1} d s = \int \frac{2 t + 1}{2 t (t + 1)} d t$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u_{1} = 2 s - 1$ . Dann ist $d u_{1} = 2 d s$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = d s$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u_{1} = 2 s - 1$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d s}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $2 s - 1$ .

$\frac{d}{d s} [2 s - 1]$

Schritt 2.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 s - 1$ nach $s$ $\frac{d}{d s} [2 s] + \frac{d}{d s} [- 1]$ .

$\frac{d}{d s} [2 s] + \frac{d}{d s} [- 1]$

Schritt 2.2.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d s} [2 s]$ .

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $s$ ist, ist die Ableitung von $2 s$ nach $s$ gleich $2 \frac{d}{d s} [s]$ .

$2 \frac{d}{d s} [s] + \frac{d}{d s} [- 1]$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ gleich $n s^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d s} [- 1]$

Schritt 2.2.1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d s} [- 1]$

Schritt 2.2.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.2.1.1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $s$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $s$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 2.2.1.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{2 t + 1}{2 t (t + 1)} d t$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{1}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int \frac{2 t + 1}{2 t (t + 1)} d t$

Schritt 2.2.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{2 t + 1}{2 t (t + 1)} d t$

Schritt 2.2.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{2 t + 1}{2 t (t + 1)} d t$

Schritt 2.2.4

Das Integral von $\frac{1}{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{2 t + 1}{2 t (t + 1)} d t$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{2 t + 1}{2 t (t + 1)} d t$

Schritt 2.2.6

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 s - 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 s - 1 |) + C_{1} = \int \frac{2 t + 1}{2 t (t + 1)} d t$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 s - 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{2 t + 1}{t (t + 1)} d t$

Schritt 2.3.2

Sei $u_{2} = t (t + 1)$ . Dann ist $d u_{2} = (2 t + 1) d t$ , folglich $\frac{1}{2 t + 1} d u_{2} = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.3.2.1

Es sei $u_{2} = t (t + 1)$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Differenziere $t (t + 1)$ .

$\frac{d}{d t} [t (t + 1)]$

Schritt 2.3.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ gleich $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ist mit $f (t) = t$ und $g (t) = t + 1$ .

$t \frac{d}{d t} [t + 1] + (t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 2.3.2.1.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.2.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t + 1$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$t (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]) + (t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 2.3.2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$t (1 + \frac{d}{d t} [1]) + (t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 2.3.2.1.3.3

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$t (1 + 0) + (t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 2.3.2.1.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.2.1.3.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$t \cdot 1 + (t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 2.3.2.1.3.4.2

Mutltipliziere $t$ mit $1$ .

$t + (t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 2.3.2.1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$t + (t + 1) \cdot 1$

Schritt 2.3.2.1.3.6

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.3.2.1.3.6.1

Mutltipliziere $t + 1$ mit $1$ .

$t + t + 1$

Schritt 2.3.2.1.3.6.2

Addiere $t$ und $t$ .

$2 t + 1$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 s - 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.3

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 s - 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 s - 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Schritt 2.3.5

Ersetze alle $u_{2}$ durch $t (t + 1)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 s - 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| t (t + 1) |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 s - 1 |) = \frac{1}{2} \ln (| t (t + 1) |) + C$

Schritt 3

Löse nach $s$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 s - 1 |)) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| t (t + 1) |) + C)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 s - 1 |))$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\ln (| 2 s - 1 |)$ .

$2 \frac{\ln (| 2 s - 1 |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln (| t (t + 1) |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{\ln (| 2 s - 1 |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln (| t (t + 1) |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| 2 s - 1 |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| t (t + 1) |) + C)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} \ln (| t (t + 1) |) + C)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| 2 s - 1 |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| t \cdot t + t \cdot 1 |) + C)$

Schritt 3.2.2.1.1.2

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$\ln (| 2 s - 1 |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| t^{2} + t \cdot 1 |) + C)$

Schritt 3.2.2.1.1.3

Mutltipliziere $t$ mit $1$ .

$\ln (| 2 s - 1 |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| t^{2} + t |) + C)$

Schritt 3.2.2.1.1.4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\ln (| t^{2} + t |)$ .

$\ln (| 2 s - 1 |) = 2 (\frac{\ln (| t^{2} + t |)}{2} + C)$

Schritt 3.2.2.1.2

Um $C$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 2 s - 1 |) = 2 (\frac{\ln (| t^{2} + t |)}{2} + C \cdot \frac{2}{2})$

Schritt 3.2.2.1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.2.2.1.3.1

Kombiniere $C$ und $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 2 s - 1 |) = 2 (\frac{\ln (| t^{2} + t |)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2})$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\ln (| 2 s - 1 |) = 2 \frac{\ln (| t^{2} + t |) + C \cdot 2}{2}$

Schritt 3.2.2.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| 2 s - 1 |) = 2 \frac{\ln (| t^{2} + t |) + C \cdot 2}{2}$

Schritt 3.2.2.1.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| 2 s - 1 |) = \ln (| t^{2} + t |) + C \cdot 2$

Schritt 3.2.2.1.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $C$ .

$\ln (| 2 s - 1 |) = \ln (| t^{2} + t |) + 2 C$

Schritt 3.3

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| 2 s - 1 |) - \ln (| t^{2} + t |) = 2 C$

Schritt 3.4

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 2 s - 1 |}{| t^{2} + t |}) = 2 C$

Schritt 3.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.5.1

Faktorisiere $t$ aus $t^{2} + t$ heraus.

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Schritt 3.5.1.1

Faktorisiere $t$ aus $t^{2}$ heraus.

$\ln (\frac{| 2 s - 1 |}{| t \cdot t + t |}) = 2 C$

Schritt 3.5.1.2

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\ln (\frac{| 2 s - 1 |}{| t \cdot t + t |}) = 2 C$

Schritt 3.5.1.3

Faktorisiere $t$ aus $t^{1}$ heraus.

$\ln (\frac{| 2 s - 1 |}{| t \cdot t + t \cdot 1 |}) = 2 C$

Schritt 3.5.1.4

Faktorisiere $t$ aus $t \cdot t + t \cdot 1$ heraus.

$\ln (\frac{| 2 s - 1 |}{| t (t + 1) |}) = 2 C$

Schritt 3.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (\frac{| 2 s - 1 |}{| t \cdot t + t \cdot 1 |}) = 2 C$

Schritt 3.5.3

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$\ln (\frac{| 2 s - 1 |}{| t^{2} + t \cdot 1 |}) = 2 C$

Schritt 3.5.4

Mutltipliziere $t$ mit $1$ .

$\ln (\frac{| 2 s - 1 |}{| t^{2} + t |}) = 2 C$

Schritt 3.5.5

Faktorisiere $t$ aus $t^{2} + t$ heraus.

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Schritt 3.5.5.1

Faktorisiere $t$ aus $t^{2}$ heraus.

$\ln (\frac{| 2 s - 1 |}{| t \cdot t + t |}) = 2 C$

Schritt 3.5.5.2

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\ln (\frac{| 2 s - 1 |}{| t \cdot t + t |}) = 2 C$

Schritt 3.5.5.3

Faktorisiere $t$ aus $t^{1}$ heraus.

$\ln (\frac{| 2 s - 1 |}{| t \cdot t + t \cdot 1 |}) = 2 C$

Schritt 3.5.5.4

Faktorisiere $t$ aus $t \cdot t + t \cdot 1$ heraus.

$\ln (\frac{| 2 s - 1 |}{| t (t + 1) |}) = 2 C$

Schritt 3.6

Um nach $s$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{| 2 s - 1 |}{| t (t + 1) |})} = e^{2 C}$

Schritt 3.7

Schreibe $\ln (\frac{| 2 s - 1 |}{| t (t + 1) |}) = 2 C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = \frac{| 2 s - 1 |}{| t (t + 1) |}$

Schritt 3.8

Löse nach $s$ auf.

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Schritt 3.8.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{| 2 s - 1 |}{| t (t + 1) |} = e^{2 C}$ um.

$\frac{| 2 s - 1 |}{| t (t + 1) |} = e^{2 C}$

Schritt 3.8.2

Multipliziere beide Seiten mit $| t (t + 1) |$ .

$\frac{| 2 s - 1 |}{| t (t + 1) |} | t (t + 1) | = e^{2 C} | t (t + 1) |$

Schritt 3.8.3

Vereinfache.

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Schritt 3.8.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.8.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $| t (t + 1) |$ .

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Schritt 3.8.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{| 2 s - 1 |}{| t (t + 1) |} | t (t + 1) | = e^{2 C} | t (t + 1) |$

Schritt 3.8.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$| 2 s - 1 | = e^{2 C} | t (t + 1) |$

Schritt 3.8.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.8.3.2.1

Vereinfache $e^{2 C} | t (t + 1) |$ .

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Schritt 3.8.3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$| 2 s - 1 | = e^{2 C} | t \cdot t + t \cdot 1 |$

Schritt 3.8.3.2.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.8.3.2.1.2.1

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$| 2 s - 1 | = e^{2 C} | t^{2} + t \cdot 1 |$

Schritt 3.8.3.2.1.2.2

Mutltipliziere $t$ mit $1$ .

$| 2 s - 1 | = e^{2 C} | t^{2} + t |$

Schritt 3.8.4

Löse nach $s$ auf.

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Schritt 3.8.4.1

Stelle die Faktoren in $e^{2 C} | t^{2} + t |$ um.

$| 2 s - 1 | = | t^{2} + t | e^{2 C}$

Schritt 3.8.4.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$2 s - 1 = \pm | t^{2} + t | e^{2 C}$

Schritt 3.8.4.3

Stelle die Faktoren in $\pm | t^{2} + t | e^{2 C}$ um.

$2 s - 1 = \pm e^{2 C} | t^{2} + t |$

Schritt 3.8.4.4

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 s = \pm e^{2 C} | t^{2} + t | + 1$

Schritt 3.8.4.5

Teile jeden Ausdruck in $2 s = \pm e^{2 C} | t^{2} + t | + 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.8.4.5.1

Teile jeden Ausdruck in $2 s = \pm e^{2 C} | t^{2} + t | + 1$ durch $2$ .

$\frac{2 s}{2} = \frac{\pm e^{2 C} | t^{2} + t |}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 3.8.4.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.8.4.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.8.4.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 s}{2} = \frac{\pm e^{2 C} | t^{2} + t |}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 3.8.4.5.2.1.2

Dividiere $s$ durch $1$ .

$s = \frac{\pm e^{2 C} | t^{2} + t |}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 3.8.4.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.8.4.5.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$s = \frac{\pm e^{2 C} | t^{2} + t | + 1}{2}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$s = \frac{\pm C | t^{2} + t | + 1}{2}$

Schritt 4.2

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$s = \frac{C | t^{2} + t | + 1}{2}$