Analysis Beispiele

$(y - \frac{1}{y}) d x + (x + \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = y - \frac{1}{y}$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y - \frac{1}{y}]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y - \frac{1}{y}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{y}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{y}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [- \frac{1}{y}]$ .

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Schritt 1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = - 1$ und $g (y) = \frac{1}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 - \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{1}{y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 1.3.2

Schreibe $\frac{1}{y}$ als $y^{- 1}$ um.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 - \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{1}{y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 - - y^{- 2} + \frac{1}{y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 1.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 - - y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0$

Schritt 1.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 1 y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0$

Schritt 1.3.6

Mutltipliziere $y^{- 2}$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0$

Schritt 1.3.7

Mutltipliziere $\frac{1}{y}$ mit $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + y^{- 2} + 0$

Schritt 1.3.8

Addiere $y^{- 2}$ und $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + y^{- 2}$

Schritt 1.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \frac{1}{y^{2}}$

Schritt 1.5

Stelle die Terme um.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{y^{2}} + 1$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x + \frac{x}{y^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + \frac{x}{y^{2}}]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + \frac{x}{y^{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y^{2}}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y^{2}}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y^{2}}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y^{2}}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $\frac{1}{y^{2}}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{y^{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{1}{y^{2}} \cdot 1$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $\frac{1}{y^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{1}{y^{2}}$

Schritt 2.4

Stelle die Terme um.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y^{2}} + 1$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $\frac{1}{y^{2}} + 1$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $\frac{1}{y^{2}} + 1$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$\frac{1}{y^{2}} + 1 = \frac{1}{y^{2}} + 1$

Schritt 3.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{1}{y^{2}} + 1 = \frac{1}{y^{2}} + 1$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y - \frac{1}{y} d x$

Schritt 5

Integriere $M (x, y) = y - \frac{1}{y}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 5.1

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = (y - \frac{1}{y}) x + C$

Schritt 6

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = (y - \frac{1}{y}) x + g (y)$

Schritt 7

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x + \frac{x}{y^{2}}$

Schritt 8

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 8.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [(y - \frac{1}{y}) x + g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

Schritt 8.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $(y - \frac{1}{y}) x + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [(y - \frac{1}{y}) x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [(y - \frac{1}{y}) x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

Schritt 8.3

Berechne $\frac{d}{d y} [(y - \frac{1}{y}) x]$ .

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Schritt 8.3.1

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $(y - \frac{1}{y}) x$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [y - \frac{1}{y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [y - \frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

Schritt 8.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y - \frac{1}{y}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{y}]$ .

$x (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

Schritt 8.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (1 + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

Schritt 8.3.4

$x (1 - \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{1}{y} \frac{d}{d y} [- 1]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

Schritt 8.3.5

Schreibe $\frac{1}{y}$ als $y^{- 1}$ um.

$x (1 - \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{1}{y} \frac{d}{d y} [- 1]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

Schritt 8.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$x (1 - - y^{- 2} + \frac{1}{y} \frac{d}{d y} [- 1]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

Schritt 8.3.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$x (1 - - y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

Schritt 8.3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x (1 + 1 y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

Schritt 8.3.9

Mutltipliziere $y^{- 2}$ mit $1$ .

$x (1 + y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

Schritt 8.3.10

Mutltipliziere $\frac{1}{y}$ mit $0$ .

$x (1 + y^{- 2} + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

Schritt 8.3.11

Addiere $y^{- 2}$ und $0$ .

$x (1 + y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

Schritt 8.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$x (1 + y^{- 2}) + \frac{d g}{d y} = x + \frac{x}{y^{2}}$

Schritt 8.5

Vereinfache.

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Schritt 8.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (1 + \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = x + \frac{x}{y^{2}}$

Schritt 8.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot 1 + x \frac{1}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = x + \frac{x}{y^{2}}$

Schritt 8.5.3

Vereine die Terme

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Schritt 8.5.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x + x \frac{1}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = x + \frac{x}{y^{2}}$

Schritt 8.5.3.2

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{y^{2}}$ .

$x + \frac{x}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = x + \frac{x}{y^{2}}$

Schritt 8.5.4

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x}{y^{2}} = x + \frac{x}{y^{2}}$

Schritt 9

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 9.1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x}{y^{2}} - x = \frac{x}{y^{2}}$

Schritt 9.1.2

Subtrahiere $\frac{x}{y^{2}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x}{y^{2}} - x - \frac{x}{y^{2}} = 0$

Schritt 9.1.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\frac{d g}{d y} + x + \frac{x}{y^{2}} - x - \frac{x}{y^{2}}$ .

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Schritt 9.1.3.1

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x}{y^{2}} + 0 - \frac{x}{y^{2}} = 0$

Schritt 9.1.3.2

Addiere $\frac{d g}{d y} + \frac{x}{y^{2}}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x}{y^{2}} - \frac{x}{y^{2}} = 0$

Schritt 9.1.3.3

Subtrahiere $\frac{x}{y^{2}}$ von $\frac{x}{y^{2}}$ .

$\frac{d g}{d y} + 0 = 0$

Schritt 9.1.3.4

Addiere $\frac{d g}{d y}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Schritt 10

Bestimme die Stammfunktion von $0$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 10.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Schritt 10.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Schritt 10.3

Das Integral von $0$ nach $y$ ist $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Schritt 10.4

Addiere $0$ und $C$ .

$g (y) = C$

Schritt 11

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = (y - \frac{1}{y}) x + g (y)$ ein.

$f (x, y) = (y - \frac{1}{y}) x + C$

Schritt 12

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x, y) = y x - \frac{1}{y} x + C$

Schritt 12.2

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{y}$ .

$f (x, y) = y x - \frac{x}{y} + C$