Analysis Beispiele

$x (y^{2} - 4) d x + y d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $x (y^{2} - 4) d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y d y = - x (y^{2} - 4) d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y^{2} - 4}$ .

$\frac{1}{y^{2} - 4} y d y = \frac{1}{y^{2} - 4} (- x (y^{2} - 4)) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{1}{y^{2} - 2^{2}} y d y = \frac{1}{y^{2} - 4} (- x (y^{2} - 4)) d x$

Schritt 3.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = y$ und $b = 2$ .

$\frac{1}{(y + 2) (y - 2)} y d y = \frac{1}{y^{2} - 4} (- x (y^{2} - 4)) d x$

Schritt 3.2

Kombiniere $\frac{1}{(y + 2) (y - 2)}$ und $y$ .

$\frac{y}{(y + 2) (y - 2)} d y = \frac{1}{y^{2} - 4} (- x (y^{2} - 4)) d x$

Schritt 3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{y}{(y + 2) (y - 2)} d y = - \frac{1}{y^{2} - 4} (x (y^{2} - 4)) d x$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2} - 4$ .

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Schritt 3.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{y^{2} - 4}$ in den Zähler.

$\frac{y}{(y + 2) (y - 2)} d y = \frac{- 1}{y^{2} - 4} (x (y^{2} - 4)) d x$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere $y^{2} - 4$ aus $x (y^{2} - 4)$ heraus.

$\frac{y}{(y + 2) (y - 2)} d y = \frac{- 1}{y^{2} - 4} ((y^{2} - 4) x) d x$

Schritt 3.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{(y + 2) (y - 2)} d y = \frac{- 1}{y^{2} - 4} ((y^{2} - 4) x) d x$

Schritt 3.4.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y}{(y + 2) (y - 2)} d y = - x d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{y}{(y + 2) (y - 2)} d y = \int - x d x$

Schritt 4.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Sei $u = (y + 2) (y - 2)$ . Dann ist $d u = 2 y d y$ , folglich $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.2.1.1

Es sei $u = (y + 2) (y - 2)$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Differenziere $(y + 2) (y - 2)$ .

$\frac{d}{d y} [(y + 2) (y - 2)]$

Schritt 4.2.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = y + 2$ und $g (y) = y - 2$ .

$(y + 2) \frac{d}{d y} [y - 2] + (y - 2) \frac{d}{d y} [y + 2]$

Schritt 4.2.1.1.3

Differenziere.

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Schritt 4.2.1.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y - 2$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$(y + 2) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]) + (y - 2) \frac{d}{d y} [y + 2]$

Schritt 4.2.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(y + 2) (1 + \frac{d}{d y} [- 2]) + (y - 2) \frac{d}{d y} [y + 2]$

Schritt 4.2.1.1.3.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$(y + 2) (1 + 0) + (y - 2) \frac{d}{d y} [y + 2]$

Schritt 4.2.1.1.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.1.1.3.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$(y + 2) \cdot 1 + (y - 2) \frac{d}{d y} [y + 2]$

Schritt 4.2.1.1.3.4.2

Mutltipliziere $y + 2$ mit $1$ .

$y + 2 + (y - 2) \frac{d}{d y} [y + 2]$

Schritt 4.2.1.1.3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y + 2$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$y + 2 + (y - 2) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2])$

Schritt 4.2.1.1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$y + 2 + (y - 2) (1 + \frac{d}{d y} [2])$

Schritt 4.2.1.1.3.7

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$y + 2 + (y - 2) (1 + 0)$

Schritt 4.2.1.1.3.8

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 4.2.1.1.3.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$y + 2 + (y - 2) \cdot 1$

Schritt 4.2.1.1.3.8.2

Mutltipliziere $y - 2$ mit $1$ .

$y + 2 + y - 2$

Schritt 4.2.1.1.3.8.3

Addiere $y$ und $y$ .

$2 y + 2 - 2$

Schritt 4.2.1.1.3.8.4

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 4.2.1.1.3.8.4.1

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$2 y + 0$

Schritt 4.2.1.1.3.8.4.2

Addiere $2 y$ und $0$ .

$2 y$

Schritt 4.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int - x d x$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int - x d x$

Schritt 4.2.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int - x d x$

Schritt 4.2.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int - x d x$

Schritt 4.2.4

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int - x d x$

Schritt 4.2.5

Vereinfache.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int - x d x$

Schritt 4.2.6

Ersetze alle $u$ durch $(y + 2) (y - 2)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 2) (y - 2) |) + C_{1} = \int - x d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 2) (y - 2) |) + C_{1} = - \int x d x$

Schritt 4.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 2) (y - 2) |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Schritt 4.3.3

Schreibe $- (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ als $- \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ um.

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 2) (y - 2) |) + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 2) (y - 2) |) = - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| (y + 2) (y - 2) |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 5.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} \ln (| (y + 2) (y - 2) |))$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Multipliziere $(y + 2) (y - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.1.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y (y - 2) + 2 (y - 2) |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 5.2.1.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y + y \cdot - 2 + 2 (y - 2) |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 5.2.1.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y + y \cdot - 2 + 2 y + 2 \cdot - 2 |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 5.2.1.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.1.1.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $y \cdot y + y \cdot - 2 + 2 y + 2 \cdot - 2$ .

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Schritt 5.2.1.1.2.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $y \cdot - 2$ und $2 y$ neu an.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y - 2 y + 2 y + 2 \cdot - 2 |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 5.2.1.1.2.1.2

Addiere $- 2 y$ und $2 y$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y + 0 + 2 \cdot - 2 |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 5.2.1.1.2.1.3

Addiere $y \cdot y$ und $0$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y + 2 \cdot - 2 |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 5.2.1.1.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1.2.2.1

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 \cdot - 2 |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 5.2.1.1.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - 4 |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 5.2.1.1.2.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.1.1.2.3.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\ln (| y^{2} - 4 |)$ .

$2 \frac{\ln (| y^{2} - 4 |)}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 5.2.1.1.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{\ln (| y^{2} - 4 |)}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 5.2.1.1.2.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| y^{2} - 4 |) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache $2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y^{2} - 4 |) = 2 (- \frac{x^{2}}{2} + C)$

Schritt 5.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| y^{2} - 4 |) = 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 C$

Schritt 5.2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.2.1.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x^{2}}{2}$ in den Zähler.

$\ln (| y^{2} - 4 |) = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 C$

Schritt 5.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| y^{2} - 4 |) = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 C$

Schritt 5.2.2.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| y^{2} - 4 |) = - x^{2} + 2 C$

Schritt 5.3

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y^{2} - 4 |)} = e^{- x^{2} + 2 C}$

Schritt 5.4

Schreibe $\ln (| y^{2} - 4 |) = - x^{2} + 2 C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- x^{2} + 2 C} = | y^{2} - 4 |$

Schritt 5.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.5.1

Schreibe die Gleichung als $| y^{2} - 4 | = e^{- x^{2} + 2 C}$ um.

$| y^{2} - 4 | = e^{- x^{2} + 2 C}$

Schritt 5.5.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y^{2} - 4 = \pm e^{- x^{2} + 2 C}$

Schritt 5.5.3

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} = \pm e^{- x^{2} + 2 C} + 4$

Schritt 5.5.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{- x^{2} + 2 C} + 4}$

Schritt 6

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 6.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{- x^{2} + C} + 4}$

Schritt 6.2

Schreibe $e^{- x^{2} + C}$ als $e^{- x^{2}} e^{C}$ um.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{- x^{2}} e^{C} + 4}$

Schritt 6.3

Stelle $e^{- x^{2}}$ und $e^{C}$ um.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{C} e^{- x^{2}} + 4}$

Schritt 6.4

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = \pm \sqrt{C e^{- x^{2}} + 4}$