Analysis Beispiele

$x \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 2 \frac{d y}{d x} = 6 x$

Schritt 1

Wenn $v = \frac{d y}{d x}$ . Dann $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . Setze $v$ für $\frac{d y}{d x}$ ein und $\frac{d v}{d x}$ für $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ , um eine Differentialgleichung mit der abhängigen Variablen $v$ und unabhängigen Variablen $x$ zu erhalten.

$x \frac{d v}{d x} + 2 v = 6 x$

Schritt 2

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ um.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d v}{d x} + 2 v = 6 x$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d v}{d x}}{x} + \frac{2 v}{x} = \frac{6 x}{x}$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d v}{d x}}{x} + \frac{2 v}{x} = \frac{6 x}{x}$

Schritt 2.2.2

Dividiere $\frac{d v}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 v}{x} = \frac{6 x}{x}$

Schritt 2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 v}{x} = \frac{6 x}{x}$

Schritt 2.3.2

Dividiere $6$ durch $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 v}{x} = 6$

Schritt 2.4

Faktorisiere $v$ aus $\frac{2 v}{x}$ heraus.

$\frac{d v}{d x} + v \frac{2}{x} = 6$

Schritt 2.5

Stelle $v$ und $\frac{2}{x}$ um.

$\frac{d v}{d x} + \frac{2}{x} v = 6$

Schritt 3

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = \frac{2}{x}$ gilt.

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Schritt 3.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Schritt 3.2

Integriere $\frac{2}{x}$ .

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Schritt 3.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 3.2.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C_{1})}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache.

$e^{2 \ln (| x |) + C_{1}}$

Schritt 3.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{2 \ln (x)}$

Schritt 3.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln (x^{2})}$

Schritt 3.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$x^{2}$

Schritt 4

Multipliziere jeden Ausdruck mit $x^{2}$ .

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Schritt 4.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d v}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} v) = x^{2} \cdot 6$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Kombiniere $\frac{2}{x}$ und $v$ .

$x^{2} \frac{d v}{d x} + x^{2} \frac{2 v}{x} = x^{2} \cdot 6$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$x^{2} \frac{d v}{d x} + x \cdot x \frac{2 v}{x} = x^{2} \cdot 6$

Schritt 4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} \frac{d v}{d x} + x \cdot x \frac{2 v}{x} = x^{2} \cdot 6$

Schritt 4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} \frac{d v}{d x} + x (2 v) = x^{2} \cdot 6$

Schritt 4.2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{2} \frac{d v}{d x} + 2 x v = x^{2} \cdot 6$

Schritt 4.3

Bringe $6$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d v}{d x} + 2 x v = 6 x^{2}$

Schritt 5

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [x^{2} v] = 6 x^{2}$

Schritt 6

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} v] d x = \int 6 x^{2} d x$

Schritt 7

Integriere die linke Seite.

$x^{2} v = \int 6 x^{2} d x$

Schritt 8

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 8.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$x^{2} v = 6 \int x^{2} d x$

Schritt 8.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$x^{2} v = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Schritt 8.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.3.1

Schreibe $6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ als $6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ um.

$x^{2} v = 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

Schritt 8.3.2

Vereinfache.

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Schritt 8.3.2.1

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{3}$ .

$x^{2} v = \frac{6}{3} x^{3} + C_{2}$

Schritt 8.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $3$ .

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Schritt 8.3.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$x^{2} v = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{3} + C_{2}$

Schritt 8.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.2.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$x^{2} v = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{3} + C_{2}$

Schritt 8.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} v = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{3} + C_{2}$

Schritt 8.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} v = \frac{2}{1} x^{3} + C_{2}$

Schritt 8.3.2.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$x^{2} v = 2 x^{3} + C_{2}$

Schritt 9

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} v = 2 x^{3} + C_{2}$ durch $x^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 9.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} v = 2 x^{3} + C_{2}$ durch $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} v}{x^{2}} = \frac{2 x^{3}}{x^{2}} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

Schritt 9.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 9.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} v}{x^{2}} = \frac{2 x^{3}}{x^{2}} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

Schritt 9.2.1.2

Dividiere $v$ durch $1$ .

$v = \frac{2 x^{3}}{x^{2}} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

Schritt 9.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x^{2}$ .

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Schritt 9.3.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $2 x^{3}$ heraus.

$v = \frac{x^{2} (2 x)}{x^{2}} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

Schritt 9.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.1.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$v = \frac{x^{2} (2 x)}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

Schritt 9.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$v = \frac{x^{2} (2 x)}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

Schritt 9.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$v = \frac{2 x}{1} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

Schritt 9.3.1.2.4

Dividiere $2 x$ durch $1$ .

$v = 2 x + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

Schritt 10

Ersetze alle $v$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

Schritt 11

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (2 x + \frac{C_{2}}{x^{2}}) d x$

Schritt 12

Integriere beide Seiten.

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Schritt 12.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int 2 x + \frac{C_{2}}{x^{2}} d x$

Schritt 12.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{3} = \int 2 x + \frac{C_{2}}{x^{2}} d x$

Schritt 12.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 12.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{3} = \int 2 x d x + \int \frac{C_{2}}{x^{2}} d x$

Schritt 12.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$y + C_{3} = 2 \int x d x + \int \frac{C_{2}}{x^{2}} d x$

Schritt 12.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int \frac{C_{2}}{x^{2}} d x$

Schritt 12.3.4

Da $C_{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $C_{2}$ aus dem Integral.

$y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + C_{2} \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 12.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 12.3.5.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + C_{2} \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 12.3.5.2

Vereinfache.

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Schritt 12.3.5.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + C_{2} \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 12.3.5.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 12.3.5.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + C_{2} \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 12.3.5.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + C_{2} \int x^{- 2} d x$

Schritt 12.3.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + C_{2} (- x^{- 1} + C_{5})$

Schritt 12.3.7

Vereinfache.

$y + C_{3} = x^{2} + C_{2} (- x^{- 1}) + C_{6}$

Schritt 12.3.8

Stelle die Terme um.

$y + C_{3} = x^{2} - C_{2} x^{- 1} + C_{6}$

Schritt 12.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $D$ zusammen.

$y = x^{2} - C x^{- 1} + D$