Analysis Beispiele

$\frac{d x}{d t} = a (\frac{1}{5} - \frac{x}{500})$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{\frac{1}{5} - \frac{x}{500}}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{5} - \frac{x}{500}} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{\frac{1}{5} - \frac{x}{500}} (a (\frac{1}{5} - \frac{x}{500}))$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\frac{1}{5} - \frac{x}{500}$ .

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $\frac{1}{5} - \frac{x}{500}$ aus $a (\frac{1}{5} - \frac{x}{500})$ heraus.

$\frac{1}{\frac{1}{5} - \frac{x}{500}} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{\frac{1}{5} - \frac{x}{500}} ((\frac{1}{5} - \frac{x}{500}) a)$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\frac{1}{5} - \frac{x}{500}} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{\frac{1}{5} - \frac{x}{500}} ((\frac{1}{5} - \frac{x}{500}) a)$

Schritt 1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\frac{1}{5} - \frac{x}{500}} \frac{d x}{d t} = a$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{\frac{1}{5} - \frac{x}{500}} d x = a d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{\frac{1}{5} - \frac{x}{500}} d x = \int a d t$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u = \frac{1}{5} - \frac{x}{500}$ . Dann ist $d u = - \frac{1}{500} d x$ , folglich $- 500 d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u = \frac{1}{5} - \frac{x}{500}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $\frac{1}{5} - \frac{x}{500}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} - \frac{x}{500}]$

Schritt 2.2.1.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{5} - \frac{x}{500}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{500}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{500}]$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{5}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{500}]$

Schritt 2.2.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{500}]$ .

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Da $- \frac{1}{500}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{x}{500}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{500} \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{1}{500} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - \frac{1}{500} \cdot 1$

Schritt 2.2.1.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$0 - \frac{1}{500}$

Schritt 2.2.1.1.4

Subtrahiere $\frac{1}{500}$ von $0$ .

$- \frac{1}{500}$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{- 1}{u} \cdot \frac{- 1}{- \frac{1}{500}} d u = \int a d t$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int - \frac{1}{u} \cdot \frac{- 1}{- \frac{1}{500}} d u = \int a d t$

Schritt 2.2.2.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\int - \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{\frac{1}{500}} d u = \int a d t$

Schritt 2.2.2.3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{500}$ zu dividieren.

$\int - \frac{1}{u} (1 \cdot 500) d u = \int a d t$

Schritt 2.2.2.4

Mutltipliziere $500$ mit $1$ .

$\int - \frac{1}{u} \cdot 500 d u = \int a d t$

Schritt 2.2.2.5

Mutltipliziere $500$ mit $- 1$ .

$\int - 500 \frac{1}{u} d u = \int a d t$

Schritt 2.2.2.6

Kombiniere $- 500$ und $\frac{1}{u}$ .

$\int \frac{- 500}{u} d u = \int a d t$

Schritt 2.2.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int - \frac{500}{u} d u = \int a d t$

Schritt 2.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{500}{u} d u = \int a d t$

Schritt 2.2.4

Da $500$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $500$ aus dem Integral.

$- (500 \int \frac{1}{u} d u) = \int a d t$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $500$ mit $- 1$ .

$- 500 \int \frac{1}{u} d u = \int a d t$

Schritt 2.2.6

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$- 500 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int a d t$

Schritt 2.2.7

Vereinfache.

$- 500 \ln (| u |) + C_{1} = \int a d t$

Schritt 2.2.8

Ersetze alle $u$ durch $\frac{1}{5} - \frac{x}{500}$ .

$- 500 \ln (| \frac{1}{5} - \frac{x}{500} |) + C_{1} = \int a d t$

Schritt 2.2.9

Stelle die Terme um.

$- 500 \ln (| \frac{1}{5} - \frac{1}{500} x |) + C_{1} = \int a d t$

Schritt 2.3

Wende die Konstantenregel an.

$- 500 \ln (| \frac{1}{5} - \frac{1}{500} x |) + C_{1} = a t + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- 500 \ln (| \frac{1}{5} - \frac{1}{500} x |) = a t + C$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 500 \ln (| \frac{1}{5} - \frac{1}{500} x |) = a t + C$ durch $- 500$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $- 500 \ln (| \frac{1}{5} - \frac{1}{500} x |) = a t + C$ durch $- 500$ .

$\frac{- 500 \ln (| \frac{1}{5} - \frac{1}{500} x |)}{- 500} = \frac{a t}{- 500} + \frac{C}{- 500}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 500$ .

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Schritt 3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 500 \ln (| \frac{1}{5} - \frac{1}{500} x |)}{- 500} = \frac{a t}{- 500} + \frac{C}{- 500}$

Schritt 3.1.2.1.2

Dividiere $\ln (| \frac{1}{5} - \frac{1}{500} x |)$ durch $1$ .

$\ln (| \frac{1}{5} - \frac{1}{500} x |) = \frac{a t}{- 500} + \frac{C}{- 500}$

Schritt 3.1.2.2

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{500}$ .

$\ln (| \frac{1}{5} - \frac{x}{500} |) = \frac{a t}{- 500} + \frac{C}{- 500}$

Schritt 3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\ln (| \frac{1}{5} - \frac{x}{500} |) = - \frac{a t}{500} + \frac{C}{- 500}$

Schritt 3.1.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\ln (| \frac{1}{5} - \frac{x}{500} |) = - \frac{a t}{500} - \frac{C}{500}$

Schritt 3.2

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| \frac{1}{5} - \frac{x}{500} |)} = e^{- \frac{a t}{500} - \frac{C}{500}}$

Schritt 3.3

Schreibe $\ln (| \frac{1}{5} - \frac{x}{500} |) = - \frac{a t}{500} - \frac{C}{500}$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{a t}{500} - \frac{C}{500}} = | \frac{1}{5} - \frac{x}{500} |$

Schritt 3.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.1

Schreibe die Gleichung als $| \frac{1}{5} - \frac{x}{500} | = e^{- \frac{a t}{500} - \frac{C}{500}}$ um.

$| \frac{1}{5} - \frac{x}{500} | = e^{- \frac{a t}{500} - \frac{C}{500}}$

Schritt 3.4.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$\frac{1}{5} - \frac{x}{500} = \pm e^{- \frac{a t}{500} - \frac{C}{500}}$

Schritt 3.4.3

Subtrahiere $\frac{1}{5}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{x}{500} = \pm e^{- \frac{a t}{500} - \frac{C}{500}} - \frac{1}{5}$

Schritt 3.4.4

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- 500$ .

$- 500 (- \frac{x}{500}) = - 500 (\pm e^{- \frac{a t}{500} - \frac{C}{500}} - \frac{1}{5})$

Schritt 3.4.5

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.4.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.5.1.1

Vereinfache $- 500 (- \frac{x}{500})$ .

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Schritt 3.4.5.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $500$ .

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Schritt 3.4.5.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x}{500}$ in den Zähler.

$- 500 \frac{- x}{500} = - 500 (\pm e^{- \frac{a t}{500} - \frac{C}{500}} - \frac{1}{5})$

Schritt 3.4.5.1.1.1.2

Faktorisiere $500$ aus $- 500$ heraus.

$500 (- 1) \frac{- x}{500} = - 500 (\pm e^{- \frac{a t}{500} - \frac{C}{500}} - \frac{1}{5})$

Schritt 3.4.5.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$500 \cdot - 1 \frac{- x}{500} = - 500 (\pm e^{- \frac{a t}{500} - \frac{C}{500}} - \frac{1}{5})$

Schritt 3.4.5.1.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- - x = - 500 (\pm e^{- \frac{a t}{500} - \frac{C}{500}} - \frac{1}{5})$

Schritt 3.4.5.1.1.2

Multipliziere.

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Schritt 3.4.5.1.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 x = - 500 (\pm e^{- \frac{a t}{500} - \frac{C}{500}} - \frac{1}{5})$

Schritt 3.4.5.1.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x = - 500 (\pm e^{- \frac{a t}{500} - \frac{C}{500}} - \frac{1}{5})$

Schritt 3.4.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.5.2.1

Vereinfache $- 500 (\pm e^{- \frac{a t}{500} - \frac{C}{500}} - \frac{1}{5})$ .

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Schritt 3.4.5.2.1.1

Um $\pm e^{- \frac{a t}{500} - \frac{C}{500}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$x = - 500 ((\pm e^{- \frac{a t}{500} - \frac{C}{500}}) \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5})$

Schritt 3.4.5.2.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.4.5.2.1.2.1

Kombiniere $\pm e^{- \frac{a t}{500} - \frac{C}{500}}$ und $\frac{5}{5}$ .

$x = - 500 (\frac{(\pm e^{- \frac{a t}{500} - \frac{C}{500}}) \cdot 5}{5} - \frac{1}{5})$

Schritt 3.4.5.2.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = - 500 \frac{(\pm e^{- \frac{a t}{500} - \frac{C}{500}}) \cdot 5 - 1}{5}$

Schritt 3.4.5.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.4.5.2.1.2.3.1

Faktorisiere $5$ aus $- 500$ heraus.

$x = 5 (- 100) \frac{(\pm e^{- \frac{a t}{500} - \frac{C}{500}}) \cdot 5 - 1}{5}$

Schritt 3.4.5.2.1.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 5 \cdot - 100 \frac{(\pm e^{- \frac{a t}{500} - \frac{C}{500}}) \cdot 5 - 1}{5}$

Schritt 3.4.5.2.1.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$x = - 100 ((\pm e^{- \frac{a t}{500} - \frac{C}{500}}) \cdot 5 - 1)$

Schritt 3.4.5.2.1.3

Bringe $5$ auf die linke Seite von $\pm e^{- \frac{a t}{500} - \frac{C}{500}}$ .

$x = - 100 (5 (\pm e^{- \frac{a t}{500} - \frac{C}{500}}) - 1)$

Schritt 3.4.5.2.1.4

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 3.4.5.2.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = - 100 (5 (\pm e^{- \frac{a t}{500} - \frac{C}{500}})) - 100 \cdot - 1$

Schritt 3.4.5.2.1.4.2

Multipliziere.

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Schritt 3.4.5.2.1.4.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 100$ .

$x = - 500 (\pm e^{- \frac{a t}{500} - \frac{C}{500}}) - 100 \cdot - 1$

Schritt 3.4.5.2.1.4.2.2

Mutltipliziere $- 100$ mit $- 1$ .

$x = - 500 (\pm e^{- \frac{a t}{500} - \frac{C}{500}}) + 100$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$x = - 500 (\pm e^{- \frac{a t}{500} + C}) + 100$

Schritt 4.2

Schreibe $e^{- \frac{a t}{500} + C}$ als $e^{- \frac{a t}{500}} e^{C}$ um.

$x = - 500 (\pm e^{- \frac{a t}{500}} e^{C}) + 100$

Schritt 4.3

Stelle $e^{- \frac{a t}{500}}$ und $e^{C}$ um.

$x = - 500 (\pm e^{C} e^{- \frac{a t}{500}}) + 100$

Schritt 4.4

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$x = - 500 (C e^{- \frac{a t}{500}}) + 100$