Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 2 x + 5$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (2 x + 5) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int 2 x + 5 d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int 2 x + 5 d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int 2 x d x + \int 5 d x$

Schritt 2.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 2 \int x d x + \int 5 d x$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int 5 d x$

Schritt 2.3.4

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + 5 x + C_{3}$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 5 x + C_{3}$

Schritt 2.3.5.2

Vereinfache.

$y + C_{1} = x^{2} + 5 x + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = x^{2} + 5 x + K$