Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{\ln (y)}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{y}{\ln (y)}$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{\ln (y)}{y}$ .

$\frac{\ln (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (y)}{y} (x \frac{y}{\ln (y)})$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Kombiniere $x$ und $\frac{y}{\ln (y)}$ .

$\frac{\ln (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (y)}{y} \cdot \frac{x y}{\ln (y)}$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (y)$ .

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Schritt 1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\ln (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (y)}{y} \cdot \frac{x y}{\ln (y)}$

Schritt 1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\ln (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (x y)$

Schritt 1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.3.3.1

Faktorisiere $y$ aus $x y$ heraus.

$\frac{\ln (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y x)$

Schritt 1.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\ln (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y x)$

Schritt 1.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\ln (y)}{y} \frac{d y}{d x} = x$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{\ln (y)}{y} d y = x d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{\ln (y)}{y} d y = \int x d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u = \ln (y)$ . Dann ist $d u = \frac{1}{y} d y$ , folglich $y d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u = \ln (y)$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $\ln (y)$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (y)]$

Schritt 2.2.1.1.2

Die Ableitung von $\ln (y)$ nach $y$ ist $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y}$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int u d u = \int x d x$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u$ nach $u$ gleich $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \int x d x$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\ln (y)$ .

$\frac{1}{2} \ln^{2} (y) + C_{1} = \int x d x$

Schritt 2.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln^{2} (y) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{2} \ln^{2} (y) = \frac{1}{2} x^{2} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (y)) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (y))$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\ln^{2} (y)$ .

$2 \frac{\ln^{2} (y)}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{\ln^{2} (y)}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln^{2} (y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\ln^{2} (y) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + K)$

Schritt 3.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln^{2} (y) = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln^{2} (y) = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln^{2} (y) = x^{2} + 2 K$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\ln (y) = \pm \sqrt{x^{2} + 2 K}$

Schritt 3.3.2

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.3.2.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\ln (y) = \sqrt{x^{2} + 2 K}$

Schritt 3.3.2.2

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (y)} = e^{\sqrt{x^{2} + 2 K}}$

Schritt 3.3.2.3

Schreibe $\ln (y) = \sqrt{x^{2} + 2 K}$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{\sqrt{x^{2} + 2 K}} = y$

Schritt 3.3.2.4

Schreibe die Gleichung als $y = e^{\sqrt{x^{2} + 2 K}}$ um.

$y = e^{\sqrt{x^{2} + 2 K}}$

Schritt 3.3.2.5

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\ln (y) = - \sqrt{x^{2} + 2 K}$

Schritt 3.3.2.6

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (y)} = e^{- \sqrt{x^{2} + 2 K}}$

Schritt 3.3.2.7

Schreibe $\ln (y) = - \sqrt{x^{2} + 2 K}$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- \sqrt{x^{2} + 2 K}} = y$

Schritt 3.3.2.8

Schreibe die Gleichung als $y = e^{- \sqrt{x^{2} + 2 K}}$ um.

$y = e^{- \sqrt{x^{2} + 2 K}}$

Schritt 3.3.2.9

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = e^{\sqrt{x^{2} + 2 K}}$

$y = e^{- \sqrt{x^{2} + 2 K}}$

$y = e^{\sqrt{x^{2} + 2 K}}$

$y = e^{- \sqrt{x^{2} + 2 K}}$

$y = e^{\sqrt{x^{2} + 2 K}}$

$y = e^{- \sqrt{x^{2} + 2 K}}$

$y = e^{\sqrt{x^{2} + 2 K}}$

$y = e^{- \sqrt{x^{2} + 2 K}}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = e^{\sqrt{x^{2} + K}}$

$y = e^{- \sqrt{x^{2} + K}}$