Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + x y = 2 x$

Schritt 1

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = x$ gilt.

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Schritt 1.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int x d x}$

Schritt 1.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

Schritt 1.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{\frac{1}{2} x^{2}}$

Schritt 1.4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{x^{2}}{2}} (x y) = e^{\frac{x^{2}}{2}} (2 x)$

Schritt 2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{x^{2}}{2}} (x y) = 2 e^{\frac{x^{2}}{2}} x$

Schritt 2.3

Stelle die Faktoren in $e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{x^{2}}{2}} (x y) = 2 e^{\frac{x^{2}}{2}} x$ um.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + x y e^{\frac{x^{2}}{2}} = 2 x e^{\frac{x^{2}}{2}}$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{x^{2}}{2}} y] = 2 x e^{\frac{x^{2}}{2}}$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{\frac{x^{2}}{2}} y] d x = \int 2 x e^{\frac{x^{2}}{2}} d x$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int 2 x e^{\frac{x^{2}}{2}} d x$

Schritt 6

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 \int x e^{\frac{x^{2}}{2}} d x$

Schritt 6.2

Sei $u_{2} = e^{\frac{x^{2}}{2}}$ . Dann ist $d u_{2} = x e^{\frac{x^{2}}{2}} d x$ , folglich $\frac{1}{x e^{\frac{x^{2}}{2}}} d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 6.2.1

Es sei $u_{2} = e^{\frac{x^{2}}{2}}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 6.2.1.1

Differenziere $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{x^{2}}{2}}]$

Schritt 6.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = \frac{x^{2}}{2}$ .

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Schritt 6.2.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Schritt 6.2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Schritt 6.2.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\frac{x^{2}}{2}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Schritt 6.2.1.3

Differenziere.

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Schritt 6.2.1.3.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x^{2}}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 6.2.1.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 6.2.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2} (2 x)$

Schritt 6.2.1.3.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.2.1.3.4.1

Kombiniere $2$ und $\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2} x$

Schritt 6.2.1.3.4.2

Kombiniere $\frac{2 e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2}$ und $x$ .

$\frac{2 e^{\frac{x^{2}}{2}} x}{2}$

Schritt 6.2.1.3.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.3.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 e^{\frac{x^{2}}{2}} x}{2}$

Schritt 6.2.1.3.4.3.2

Dividiere $e^{\frac{x^{2}}{2}} x$ durch $1$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} x$

Schritt 6.2.1.3.4.4

Stelle die Faktoren in $e^{\frac{x^{2}}{2}} x$ um.

$x e^{\frac{x^{2}}{2}}$

Schritt 6.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 \int d u_{2}$

Schritt 6.3

Wende die Konstantenregel an.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 (u_{2} + C)$

Schritt 6.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.4.1

Vereinfache.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 u_{2} + C$

Schritt 6.4.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 e^{\frac{x^{2}}{2}} + C$

Schritt 6.4.3

Stelle die Terme um.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}} + C$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}} + C$ durch $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}} + C$ durch $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} y}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} = \frac{2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} y}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} = \frac{2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $e^{\frac{1}{2} x^{2}}$ und $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

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Schritt 7.3.1.1.1

Faktorisiere $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ aus $2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}$ heraus.

$y = \frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} (2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}})}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Schritt 7.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.3.1.1.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$y = \frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} (2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}})}{e^{\frac{x^{2}}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Schritt 7.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} (2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}})}{e^{\frac{x^{2}}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Schritt 7.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}}}{1} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Schritt 7.3.1.1.2.4

Dividiere $2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}}$ durch $1$ .

$y = 2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Schritt 7.3.1.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.3.1.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}$ heraus.

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Schritt 7.3.1.2.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2$ heraus.

$y = 2 e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) - x^{2}}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Schritt 7.3.1.2.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- x^{2}$ heraus.

$y = 2 e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Schritt 7.3.1.2.1.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1$ heraus.

$y = 2 e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2 - 1)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Schritt 7.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 2 e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2 - 1)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Schritt 7.3.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y = 2 e^{\frac{x^{2} (1 - 1)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Schritt 7.3.1.2.3

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$y = 2 e^{\frac{x^{2} \cdot 0}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Schritt 7.3.1.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $0$ .

$y = 2 e^{\frac{0}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Schritt 7.3.1.4

Dividiere $0$ durch $2$ .

$y = 2 e^{0} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Schritt 7.3.1.5

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$y = 2 \cdot 1 + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Schritt 7.3.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = 2 + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$