Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d t} + 50 y = 0$

Schritt 1

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (t) d t}$ , wobei $P (t) = 50$ gilt.

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Schritt 1.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int 50 d t}$

Schritt 1.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{50 t + C}$

Schritt 1.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{50 t}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{50 t}$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{50 t}$ .

$e^{50 t} \frac{d y}{d t} + e^{50 t} (50 y) = e^{50 t} \cdot 0$

Schritt 2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{50 t} \frac{d y}{d t} + 50 e^{50 t} y = e^{50 t} \cdot 0$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $e^{50 t}$ mit $0$ .

$e^{50 t} \frac{d y}{d t} + 50 e^{50 t} y = 0$

Schritt 2.4

Stelle die Faktoren in $e^{50 t} \frac{d y}{d t} + 50 e^{50 t} y = 0$ um.

$e^{50 t} \frac{d y}{d t} + 50 y e^{50 t} = 0$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d t} [e^{50 t} y] = 0$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d t} [e^{50 t} y] d t = \int 0 d t$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$e^{50 t} y = \int 0 d t$

Schritt 6

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Das Integral von $0$ nach $t$ ist $0$ .

$e^{50 t} y = 0 + C$

Schritt 6.2

Addiere $0$ und $C$ .

$e^{50 t} y = C$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $e^{50 t} y = C$ durch $e^{50 t}$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{50 t} y = C$ durch $e^{50 t}$ .

$\frac{e^{50 t} y}{e^{50 t}} = \frac{C}{e^{50 t}}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{50 t}$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{50 t} y}{e^{50 t}} = \frac{C}{e^{50 t}}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{C}{e^{50 t}}$