Analysis Beispiele

Löse die Differntialgleichung. (dy)/(dx)=(3y)/(2x+1)
Schritt 1
Separiere die Variablen.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1
Multipliziere beide Seiten mit .
Schritt 1.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.3
Schreibe die Gleichung um.
Schritt 2
Integriere beide Seiten.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1
Integriere auf beiden Seiten.
Schritt 2.2
Das Integral von nach ist .
Schritt 2.3
Integriere die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.3.1
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 2.3.2
Sei . Dann ist , folglich . Forme um unter Verwendung von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.3.2.1
Es sei . Ermittle .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.3.2.1.1
Differenziere .
Schritt 2.3.2.1.2
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 2.3.2.1.3
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.3.2.1.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 2.3.2.1.3.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.3.2.1.3.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.3.2.1.4
Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.3.2.1.4.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 2.3.2.1.4.2
Addiere und .
Schritt 2.3.2.2
Schreibe die Aufgabe mithlfe von und neu.
Schritt 2.3.3
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.3.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.3.3.2
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 2.3.4
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 2.3.5
Kombiniere und .
Schritt 2.3.6
Das Integral von nach ist .
Schritt 2.3.7
Vereinfache.
Schritt 2.3.8
Ersetze alle durch .
Schritt 2.4
Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als zusammen.
Schritt 3
Löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1.1
Kombiniere und .
Schritt 3.2
Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.
Schritt 3.3
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 3.4
Vereinfache Terme.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.4.1
Kombiniere und .
Schritt 3.4.2
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 3.5
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 3.6
Vereinfache die linke Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.6.1
Vereinfache .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.6.1.1
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.6.1.1.1
Vereinfache , indem du in den Logarithmus ziehst.
Schritt 3.6.1.1.2
Entferne den Absolutwert in , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.
Schritt 3.6.1.1.3
Vereinfache , indem du in den Logarithmus ziehst.
Schritt 3.6.1.1.4
Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, .
Schritt 3.6.1.2
Schreibe als um.
Schritt 3.6.1.3
Vereinfache , indem du in den Logarithmus ziehst.
Schritt 3.6.1.4
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 3.6.1.5
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.6.1.5.1
Multipliziere die Exponenten in .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.6.1.5.1.1
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 3.6.1.5.1.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.6.1.5.1.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 3.6.1.5.1.2.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 3.6.1.5.2
Vereinfache.
Schritt 3.6.1.6
Multipliziere die Exponenten in .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.6.1.6.1
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 3.6.1.6.2
Kombiniere und .
Schritt 3.7
Um nach aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.
Schritt 3.8
Schreibe in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn und positive reelle Zahlen sind und ist, dann ist gleich .
Schritt 3.9
Löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.9.1
Schreibe die Gleichung als um.
Schritt 3.9.2
Multipliziere beide Seiten mit .
Schritt 3.9.3
Vereinfache die linke Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.9.3.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.9.3.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 3.9.3.1.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4
Vereinfache die Konstante der Integration.