Analysis Beispiele

$(y^{2} - y) \frac{d y}{d x} = x + \ln (x)$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$(y^{2} - y) d y = (x + \ln (x)) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y^{2} - y d y = \int x + \ln (x) d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int y^{2} d y + \int - y d y = \int x + \ln (x) d x$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + \int - y d y = \int x + \ln (x) d x$

Schritt 2.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} - \int y d y = \int x + \ln (x) d x$

Schritt 2.2.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} - (\frac{1}{2} y^{2} + C_{2}) = \int x + \ln (x) d x$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

$\frac{1}{3} y^{3} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int x + \ln (x) d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{3} y^{3} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int x d x + \int \ln (x) d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \int \ln (x) d x$

Schritt 2.3.3

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (x)$ und $d v = 1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

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Schritt 2.3.4.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

Schritt 2.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} y^{3} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

Schritt 2.3.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} y^{3} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \ln (x) x - \int d x$

Schritt 2.3.5

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{3} y^{3} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \ln (x) x - (x + C_{5})$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

$\frac{1}{3} y^{3} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + \ln (x) x - x + C_{6}$

Schritt 2.3.7

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{3} y^{3} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + x \ln (x) - x + C_{6}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{3} y^{3} - \frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} x^{2} + x \ln (x) - x + K$