Analysis Beispiele

$2 \frac{d y}{d t} - y = 4 \sin (3 t)$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d t} + M (t) y = Q (t)$ um.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \frac{d y}{d t} - y = 4 \sin (3 t)$ durch $2$ .

$\frac{2 \frac{d y}{d t}}{2} + \frac{- y}{2} = \frac{4 \sin (3 t)}{2}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \frac{d y}{d t}}{2} + \frac{- y}{2} = \frac{4 \sin (3 t)}{2}$

Schritt 1.2.2

Dividiere $\frac{d y}{d t}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d t} + \frac{- y}{2} = \frac{4 \sin (3 t)}{2}$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4 \sin (3 t)$ heraus.

$\frac{d y}{d t} + \frac{- y}{2} = \frac{2 (2 \sin (3 t))}{2}$

Schritt 1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{d y}{d t} + \frac{- y}{2} = \frac{2 (2 \sin (3 t))}{2 (1)}$

Schritt 1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d t} + \frac{- y}{2} = \frac{2 (2 \sin (3 t))}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d t} + \frac{- y}{2} = \frac{2 \sin (3 t)}{1}$

Schritt 1.3.2.4

Dividiere $2 \sin (3 t)$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d t} + \frac{- y}{2} = 2 \sin (3 t)$

Schritt 1.4

Stelle die Terme um.

$\frac{d y}{d t} + \frac{- 1}{2} y = 2 \sin (3 t)$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (t) d t}$ , wobei $P (t) = \frac{- 1}{2}$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{- 1}{2} d t}$

Schritt 2.2

Integriere $\frac{- 1}{2}$ .

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Schritt 2.2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{\int - \frac{1}{2} d t}$

Schritt 2.2.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{- \frac{1}{2} t + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- \frac{1}{2} t}$

Schritt 2.4

Kombiniere $t$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{- \frac{t}{2}}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- \frac{t}{2}}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- \frac{t}{2}}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} \frac{d y}{d t} + e^{- \frac{t}{2}} (\frac{- 1}{2} y) = e^{- \frac{t}{2}} (2 \sin (3 t))$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{- \frac{t}{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{- 1}{2} e^{- \frac{t}{2}} y = e^{- \frac{t}{2}} (2 \sin (3 t))$

Schritt 3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{- \frac{t}{2}} \frac{d y}{d t} - \frac{1}{2} e^{- \frac{t}{2}} y = e^{- \frac{t}{2}} (2 \sin (3 t))$

Schritt 3.2.3

Kombiniere $e^{- \frac{t}{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} \frac{d y}{d t} - \frac{e^{- \frac{t}{2}}}{2} y = e^{- \frac{t}{2}} (2 \sin (3 t))$

Schritt 3.2.4

Kombiniere $y$ und $\frac{e^{- \frac{t}{2}}}{2}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} \frac{d y}{d t} - \frac{y e^{- \frac{t}{2}}}{2} = e^{- \frac{t}{2}} (2 \sin (3 t))$

Schritt 3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{- \frac{t}{2}} \frac{d y}{d t} - \frac{y e^{- \frac{t}{2}}}{2} = 2 e^{- \frac{t}{2}} \sin (3 t)$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d t} [e^{- \frac{t}{2}} y] = 2 e^{- \frac{t}{2}} \sin (3 t)$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d t} [e^{- \frac{t}{2}} y] d t = \int 2 e^{- \frac{t}{2}} \sin (3 t) d t$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$e^{- \frac{t}{2}} y = \int 2 e^{- \frac{t}{2}} \sin (3 t) d t$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$e^{- \frac{t}{2}} y = 2 \int e^{- \frac{t}{2}} \sin (3 t) d t$

Schritt 7.2

Sei $u = - \frac{t}{2}$ . Dann ist $d u = - \frac{1}{2} d t$ , folglich $- 2 d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 7.2.1

Es sei $u = - \frac{t}{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 7.2.1.1

Differenziere $- \frac{t}{2}$ .

$\frac{d}{d t} [- \frac{t}{2}]$

Schritt 7.2.1.2

Da $- \frac{1}{2}$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{t}{2}$ nach $t$ gleich $- \frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 7.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 1$

Schritt 7.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{1}{2}$

Schritt 7.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$e^{- \frac{t}{2}} y = 2 \int - e^{u} \sin (3 (- 2 u)) \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 7.3

Vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = 2 \int - e^{u} \sin (- 6 u) \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 7.3.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$e^{- \frac{t}{2}} y = 2 \int - e^{u} \sin (- 6 u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 7.3.3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{2}$ zu dividieren.

$e^{- \frac{t}{2}} y = 2 \int - e^{u} \sin (- 6 u) (1 \cdot 2) d u$

Schritt 7.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = 2 \int - e^{u} \sin (- 6 u) \cdot 2 d u$

Schritt 7.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = 2 \int - 2 e^{u} \sin (- 6 u) d u$

Schritt 7.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$e^{- \frac{t}{2}} y = 2 (- 2 \int e^{u} \sin (- 6 u) d u)$

Schritt 7.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.5.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 \int e^{u} \sin (- 6 u) d u$

Schritt 7.5.2

Stelle $e^{u}$ und $\sin (- 6 u)$ um.

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 \int \sin (- 6 u) e^{u} d u$

Schritt 7.6

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int w d v = w v - \int v d w$ , mit $w = \sin (- 6 u)$ und $dv = e^{u}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\sin (- 6 u) e^{u} - \int e^{u} (- 6 \cos (- 6 u)) d u)$

Schritt 7.7

Da $- 6$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 6$ aus dem Integral.

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\sin (- 6 u) e^{u} - (- 6 \int e^{u} (\cos (- 6 u)) d u))$

Schritt 7.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.8.1

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 1$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\sin (- 6 u) e^{u} + 6 \int e^{u} (\cos (- 6 u)) d u)$

Schritt 7.8.2

Stelle $e^{u}$ und $\cos (- 6 u)$ um.

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\sin (- 6 u) e^{u} + 6 \int \cos (- 6 u) e^{u} d u)$

Schritt 7.9

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int w d v = w v - \int v d w$ , mit $w = \cos (- 6 u)$ und $dv = e^{u}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\sin (- 6 u) e^{u} + 6 (\cos (- 6 u) e^{u} - \int e^{u} (6 \sin (- 6 u)) d u))$

Schritt 7.10

Da $6$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\sin (- 6 u) e^{u} + 6 (\cos (- 6 u) e^{u} - (6 \int e^{u} (\sin (- 6 u)) d u)))$

Schritt 7.11

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 7.11.1

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\sin (- 6 u) e^{u} + 6 (\cos (- 6 u) e^{u} - 6 \int e^{u} (\sin (- 6 u)) d u))$

Schritt 7.11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\sin (- 6 u) e^{u} + 6 (\cos (- 6 u) e^{u}) + 6 (- 6 \int e^{u} (\sin (- 6 u)) d u))$

Schritt 7.11.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $6$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\sin (- 6 u) e^{u} + 6 (\cos (- 6 u) e^{u}) - 36 \int e^{u} (\sin (- 6 u)) d u)$

Schritt 7.12

Wenn nach $\int e^{u} \sin (- 6 u) d u$ aufgelöst wird, erhalten wir $\int e^{u} \sin (- 6 u) d u$ = $\frac{\sin (- 6 u) e^{u} + 6 (\cos (- 6 u) e^{u})}{37}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\frac{\sin (- 6 u) e^{u} + 6 (\cos (- 6 u) e^{u})}{37} + C)$

Schritt 7.13

Schreibe $- 4 (\frac{\sin (- 6 u) e^{u} + 6 \cos (- 6 u) e^{u}}{37} + C)$ als $- 4 \frac{e^{u} (\sin (- 6 u) + 6 \cos (- 6 u))}{37} + C$ um.

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 \frac{e^{u} (\sin (- 6 u) + 6 \cos (- 6 u))}{37} + C$

Schritt 7.14

Vereinfache.

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Schritt 7.14.1

Kombiniere $- 4$ und $\frac{e^{u} (\sin (- 6 u) + 6 \cos (- 6 u))}{37}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = \frac{- 4 (e^{u} (\sin (- 6 u) + 6 \cos (- 6 u)))}{37} + C$

Schritt 7.14.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{u} (\sin (- 6 u) + 6 \cos (- 6 u))}{37} + C$

Schritt 7.15

Ersetze alle $u$ durch $- \frac{t}{2}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (- 6 (- \frac{t}{2})) + 6 \cos (- 6 (- \frac{t}{2})))}{37} + C$

Schritt 7.16

Vereinfache.

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Schritt 7.16.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (6 \frac{t}{2}) + 6 \cos (- 6 (- \frac{t}{2})))}{37} + C$

Schritt 7.16.2

Kombiniere $6$ und $\frac{t}{2}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (\frac{6 t}{2}) + 6 \cos (- 6 (- \frac{t}{2})))}{37} + C$

Schritt 7.16.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (\frac{6 t}{2}) + 6 \cos (6 \frac{t}{2}))}{37} + C$

Schritt 7.16.4

Kombiniere $6$ und $\frac{t}{2}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (\frac{6 t}{2}) + 6 \cos (\frac{6 t}{2}))}{37} + C$

Schritt 7.17

Vereinfache.

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Schritt 7.17.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 7.17.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6 t$ heraus.

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (\frac{2 (3 t)}{2}) + 6 \cos (\frac{6 t}{2}))}{37} + C$

Schritt 7.17.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.17.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (\frac{2 (3 t)}{2 (1)}) + 6 \cos (\frac{6 t}{2}))}{37} + C$

Schritt 7.17.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (\frac{2 (3 t)}{2 \cdot 1}) + 6 \cos (\frac{6 t}{2}))}{37} + C$

Schritt 7.17.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (\frac{3 t}{1}) + 6 \cos (\frac{6 t}{2}))}{37} + C$

Schritt 7.17.1.2.4

Dividiere $3 t$ durch $1$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (3 t) + 6 \cos (\frac{6 t}{2}))}{37} + C$

Schritt 7.17.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 7.17.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6 t$ heraus.

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (3 t) + 6 \cos (\frac{2 (3 t)}{2}))}{37} + C$

Schritt 7.17.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.17.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (3 t) + 6 \cos (\frac{2 (3 t)}{2 (1)}))}{37} + C$

Schritt 7.17.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (3 t) + 6 \cos (\frac{2 (3 t)}{2 \cdot 1}))}{37} + C$

Schritt 7.17.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (3 t) + 6 \cos (\frac{3 t}{1}))}{37} + C$

Schritt 7.17.2.2.4

Dividiere $3 t$ durch $1$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))}{37} + C$

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4}{37} e^{- \frac{1}{2} t} (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t)) + C$

Schritt 8

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

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Schritt 8.1.1

Kombiniere $t$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4}{37} \cdot (e^{- \frac{t}{2}} (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))) + C$

Schritt 8.1.2

Kombiniere $e^{- \frac{t}{2}}$ und $\frac{4}{37}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{e^{- \frac{t}{2}} \cdot 4}{37} \cdot (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t)) + C$

Schritt 8.2

Teile jeden Ausdruck in $e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{e^{- \frac{t}{2}} \cdot 4}{37} \cdot (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t)) + C$ durch $e^{- \frac{t}{2}}$ und vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{e^{- \frac{t}{2}} \cdot 4}{37} \cdot (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t)) + C$ durch $e^{- \frac{t}{2}}$ .

$\frac{e^{- \frac{t}{2}} y}{e^{- \frac{t}{2}}} = \frac{- \frac{e^{- \frac{t}{2}} \cdot 4}{37} \cdot (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))}{e^{- \frac{t}{2}}} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- \frac{t}{2}}$ .

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Schritt 8.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{- \frac{t}{2}} y}{e^{- \frac{t}{2}}} = \frac{- \frac{e^{- \frac{t}{2}} \cdot 4}{37} \cdot (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))}{e^{- \frac{t}{2}}} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$

Schritt 8.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- \frac{e^{- \frac{t}{2}} \cdot 4}{37} \cdot (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))}{e^{- \frac{t}{2}}} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$

Schritt 8.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.3.1.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $e^{- \frac{t}{2}}$ .

$y = \frac{- \frac{4 e^{- \frac{t}{2}}}{37} (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))}{e^{- \frac{t}{2}}} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$

Schritt 8.2.3.1.2

Faktorisiere $\frac{4 e^{- \frac{t}{2}}}{37}$ aus $\frac{- \frac{4 e^{- \frac{t}{2}}}{37} (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))}{e^{- \frac{t}{2}}}$ heraus.

$y = \frac{4 e^{- \frac{t}{2}}}{37} \cdot \frac{- 1 (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))}{e^{- \frac{t}{2}}} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$

Schritt 8.2.3.1.3

Kombinieren.

$y = \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (- 1 (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t)))}{37 e^{- \frac{t}{2}}} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$

Schritt 8.2.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- \frac{t}{2}}$ .

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Schritt 8.2.3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (- 1 (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t)))}{37 e^{- \frac{t}{2}}} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$

Schritt 8.2.3.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{4 (- 1 (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t)))}{37} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$

Schritt 8.2.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$y = \frac{- 4 (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))}{37} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$

Schritt 8.2.3.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{4 (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))}{37} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$