Analysis Beispiele

$(x^{2} + 1) (y^{3} - 1) d x = x^{2} y^{2} d y$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$x^{2} y^{2} d y = (x^{2} + 1) (y^{3} - 1) d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)}$ .

$\frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} y^{2}$ heraus.

$\frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} (x^{2} (y^{2})) d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

Schritt 3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y^{3} - 1} y^{2} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

Schritt 3.2

Kombiniere $\frac{1}{y^{3} - 1}$ und $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{y^{3} - 1} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

Schritt 3.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.3.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$\frac{y^{2}}{y^{3} - 1^{3}} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

Schritt 3.3.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = y$ und $b = 1$ .

$\frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y \cdot 1 + 1^{2})} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

Schritt 3.3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.3.1

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y + 1^{2})} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

Schritt 3.3.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{3} - 1$ .

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $y^{3} - 1$ aus $x^{2} (y^{3} - 1)$ heraus.

$\frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} d y = \frac{1}{(y^{3} - 1) x^{2}} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere $y^{3} - 1$ aus $(x^{2} + 1) (y^{3} - 1)$ heraus.

$\frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} d y = \frac{1}{(y^{3} - 1) x^{2}} ((y^{3} - 1) (x^{2} + 1)) d x$

Schritt 3.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} d y = \frac{1}{(y^{3} - 1) x^{2}} ((y^{3} - 1) (x^{2} + 1)) d x$

Schritt 3.4.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} d y = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} + 1) d x$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{2}}$ mit $x^{2} + 1$ .

$\frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} d y = \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

Schritt 4.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Sei $u = (y - 1) (y^{2} + y + 1)$ . Dann ist $d u = 3 y^{2} d y$ , folglich $\frac{1}{3} d u = y^{2} d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.2.1.1

Es sei $u = (y - 1) (y^{2} + y + 1)$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Differenziere $(y - 1) (y^{2} + y + 1)$ .

$\frac{d}{d y} [(y - 1) (y^{2} + y + 1)]$

Schritt 4.2.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = y - 1$ und $g (y) = y^{2} + y + 1$ .

$(y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} + y + 1] + (y^{2} + y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1]$

Schritt 4.2.1.1.3

Differenziere.

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Schritt 4.2.1.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{2} + y + 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$(y - 1) (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + (y^{2} + y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1]$

Schritt 4.2.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(y - 1) (2 y + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + (y^{2} + y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1]$

Schritt 4.2.1.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(y - 1) (2 y + 1 + \frac{d}{d y} [1]) + (y^{2} + y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1]$

Schritt 4.2.1.1.3.4

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$(y - 1) (2 y + 1 + 0) + (y^{2} + y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1]$

Schritt 4.2.1.1.3.5

Addiere $2 y + 1$ und $0$ .

$(y - 1) (2 y + 1) + (y^{2} + y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1]$

Schritt 4.2.1.1.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y - 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$(y - 1) (2 y + 1) + (y^{2} + y + 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1])$

Schritt 4.2.1.1.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(y - 1) (2 y + 1) + (y^{2} + y + 1) (1 + \frac{d}{d y} [- 1])$

Schritt 4.2.1.1.3.8

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$(y - 1) (2 y + 1) + (y^{2} + y + 1) (1 + 0)$

Schritt 4.2.1.1.3.9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.1.1.3.9.1

Addiere $1$ und $0$ .

$(y - 1) (2 y + 1) + (y^{2} + y + 1) \cdot 1$

Schritt 4.2.1.1.3.9.2

Mutltipliziere $y^{2} + y + 1$ mit $1$ .

$(y - 1) (2 y + 1) + y^{2} + y + 1$

Schritt 4.2.1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(y - 1) (2 y) + (y - 1) \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

Schritt 4.2.1.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y (2 y) - 1 (2 y) + (y - 1) \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

Schritt 4.2.1.1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y (2 y) - 1 (2 y) + y \cdot 1 - 1 \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

Schritt 4.2.1.1.4.4

Vereine die Terme

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Schritt 4.2.1.1.4.4.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$2 (y^{1} y) - 1 (2 y) + y \cdot 1 - 1 \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

Schritt 4.2.1.1.4.4.2

Potenziere $y$ mit $1$ .

$2 (y^{1} y^{1}) - 1 (2 y) + y \cdot 1 - 1 \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

Schritt 4.2.1.1.4.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 y^{1 + 1} - 1 (2 y) + y \cdot 1 - 1 \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

Schritt 4.2.1.1.4.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$2 y^{2} - 1 (2 y) + y \cdot 1 - 1 \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

Schritt 4.2.1.1.4.4.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 y^{2} - 2 y + y \cdot 1 - 1 \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

Schritt 4.2.1.1.4.4.6

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$2 y^{2} - 2 y + y - 1 \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

Schritt 4.2.1.1.4.4.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 y^{2} - 2 y + y - 1 + y^{2} + y + 1$

Schritt 4.2.1.1.4.4.8

Addiere $- 2 y$ und $y$ .

$2 y^{2} - y - 1 + y^{2} + y + 1$

Schritt 4.2.1.1.4.4.9

Addiere $2 y^{2}$ und $y^{2}$ .

$3 y^{2} - y - 1 + y + 1$

Schritt 4.2.1.1.4.4.10

Addiere $- y$ und $y$ .

$3 y^{2} + 0 - 1 + 1$

Schritt 4.2.1.1.4.4.11

Addiere $3 y^{2}$ und $0$ .

$3 y^{2} - 1 + 1$

Schritt 4.2.1.1.4.4.12

Addiere $- 1$ und $1$ .

$3 y^{2} + 0$

Schritt 4.2.1.1.4.4.13

Addiere $3 y^{2}$ und $0$ .

$3 y^{2}$

Schritt 4.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u = \int \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 3} d u = \int \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

Schritt 4.2.2.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $u$ .

$\int \frac{1}{3 u} d u = \int \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

Schritt 4.2.3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

Schritt 4.2.4

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

Schritt 4.2.5

Vereinfache.

$\frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

Schritt 4.2.6

Ersetze alle $u$ durch $(y - 1) (y^{2} + y + 1)$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.3.1.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int (x^{2} + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 4.3.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.3.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int (x^{2} + 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 4.3.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int (x^{2} + 1) x^{- 2} d x$

Schritt 4.3.2

Multipliziere $(x^{2} + 1) x^{- 2}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int x^{2} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Schritt 4.3.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.3.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{- 2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.3.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int x^{2 - 2} + 1 x^{- 2} d x$

Schritt 4.3.3.1.2

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int x^{0} + 1 x^{- 2} d x$

Schritt 4.3.3.2

Vereinfache $x^{0}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int 1 + 1 x^{- 2} d x$

Schritt 4.3.3.3

Mutltipliziere $x^{- 2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int 1 + x^{- 2} d x$

Schritt 4.3.4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int d x + \int x^{- 2} d x$

Schritt 4.3.5

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = x + C_{2} + \int x^{- 2} d x$

Schritt 4.3.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = x + C_{2} - x^{- 1} + C_{3}$

Schritt 4.3.7

Vereinfache.

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = x - \frac{1}{x} + C_{4}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) = x - \frac{1}{x} + C$

Schritt 5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Schritt 5.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache $3 (\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |))$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Multipliziere $(y - 1) (y^{2} + y + 1)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y \cdot y^{2} + y \cdot y + y \cdot 1 - 1 y^{2} - 1 y - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Schritt 5.2.1.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.1.1.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $y \cdot y^{2} + y \cdot y + y \cdot 1 - 1 y^{2} - 1 y - 1 \cdot 1$ .

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Schritt 5.2.1.1.2.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $y \cdot 1$ und $- 1 y$ neu an.

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y \cdot y^{2} + y \cdot y + 1 y - 1 y^{2} - 1 y - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Schritt 5.2.1.1.2.1.2

Subtrahiere $1 y$ von $1 y$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y \cdot y^{2} + y \cdot y - 1 y^{2} + 0 - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Schritt 5.2.1.1.2.1.3

Addiere $y \cdot y^{2} + y \cdot y - 1 y^{2}$ und $0$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y \cdot y^{2} + y \cdot y - 1 y^{2} - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Schritt 5.2.1.1.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1.2.2.1

Multipliziere $y$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.1.1.2.2.1.1

Mutltipliziere $y$ mit $y^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1.2.2.1.1.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y^{1} y^{2} + y \cdot y - 1 y^{2} - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Schritt 5.2.1.1.2.2.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y^{1 + 2} + y \cdot y - 1 y^{2} - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Schritt 5.2.1.1.2.2.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y^{3} + y \cdot y - 1 y^{2} - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Schritt 5.2.1.1.2.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y^{3} + y^{2} - 1 y^{2} - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Schritt 5.2.1.1.2.2.3

Schreibe $- 1 y^{2}$ als $- y^{2}$ um.

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y^{3} + y^{2} - y^{2} - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Schritt 5.2.1.1.2.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y^{3} + y^{2} - y^{2} - 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Schritt 5.2.1.1.2.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.1.1.2.3.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $y^{3} + y^{2} - y^{2} - 1$ .

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Schritt 5.2.1.1.2.3.1.1

Subtrahiere $y^{2}$ von $y^{2}$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y^{3} + 0 - 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Schritt 5.2.1.1.2.3.1.2

Addiere $y^{3}$ und $0$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y^{3} - 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Schritt 5.2.1.1.2.3.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\ln (| y^{3} - 1 |)$ .

$3 \frac{\ln (| y^{3} - 1 |)}{3} = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Schritt 5.2.1.1.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.1.1.2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{\ln (| y^{3} - 1 |)}{3} = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Schritt 5.2.1.1.2.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| y^{3} - 1 |) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache $3 (x - \frac{1}{x} + C)$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| y^{3} - 1 |) = 3 x + 3 (- \frac{1}{x}) + 3 C$

Schritt 5.2.2.1.2

Multipliziere $3 (- \frac{1}{x})$ .

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Schritt 5.2.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\ln (| y^{3} - 1 |) = 3 x - 3 \frac{1}{x} + 3 C$

Schritt 5.2.2.1.2.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{x}$ .

$\ln (| y^{3} - 1 |) = 3 x + \frac{- 3}{x} + 3 C$

Schritt 5.2.2.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\ln (| y^{3} - 1 |) = 3 x - \frac{3}{x} + 3 C$

Schritt 5.3

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y^{3} - 1 |)} = e^{3 x - \frac{3}{x} + 3 C}$

Schritt 5.4

Schreibe $\ln (| y^{3} - 1 |) = 3 x - \frac{3}{x} + 3 C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{3 x - \frac{3}{x} + 3 C} = | y^{3} - 1 |$

Schritt 5.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.5.1

Schreibe die Gleichung als $| y^{3} - 1 | = e^{3 x - \frac{3}{x} + 3 C}$ um.

$| y^{3} - 1 | = e^{3 x - \frac{3}{x} + 3 C}$

Schritt 5.5.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y^{3} - 1 = \pm e^{3 x - \frac{3}{x} + 3 C}$

Schritt 5.5.3

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y^{3} = \pm e^{3 x - \frac{3}{x} + 3 C} + 1$

Schritt 5.5.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[3]{\pm e^{3 x - \frac{3}{x} + 3 C} + 1}$

Schritt 5.5.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.5.1

Um $3 x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 x \cdot x}{x} - \frac{3}{x} + 3 C} + 1}$

Schritt 5.5.5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 x \cdot x - 3}{x} + 3 C} + 1}$

Schritt 5.5.5.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.5.5.3.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x \cdot x - 3$ heraus.

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Schritt 5.5.5.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x \cdot x$ heraus.

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x \cdot x) - 3}{x} + 3 C} + 1}$

Schritt 5.5.5.3.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x \cdot x) + 3 (- 1)}{x} + 3 C} + 1}$

Schritt 5.5.5.3.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (x \cdot x) + 3 (- 1)$ heraus.

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x \cdot x - 1)}{x} + 3 C} + 1}$

Schritt 5.5.5.3.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{1} x - 1)}{x} + 3 C} + 1}$

Schritt 5.5.5.3.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{1} x^{1} - 1)}{x} + 3 C} + 1}$

Schritt 5.5.5.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{1 + 1} - 1)}{x} + 3 C} + 1}$

Schritt 5.5.5.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} - 1)}{x} + 3 C} + 1}$

Schritt 5.5.5.3.6

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} - 1^{2})}{x} + 3 C} + 1}$

Schritt 5.5.5.3.7

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{x} + 3 C} + 1}$

Schritt 5.5.5.4

Um $3 C$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{x} + \frac{3 C x}{x}} + 1}$

Schritt 5.5.5.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x + 1) (x - 1) + 3 C x}{x}} + 1}$

Schritt 5.5.5.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.5.5.6.1

Faktorisiere $3$ aus $3 (x + 1) (x - 1) + 3 C x$ heraus.

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Schritt 5.5.5.6.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 (x + 1) (x - 1)$ heraus.

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 ((x + 1) (x - 1)) + 3 C x}{x}} + 1}$

Schritt 5.5.5.6.1.2

Faktorisiere $3$ aus $3 C x$ heraus.

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 ((x + 1) (x - 1)) + 3 (C x)}{x}} + 1}$

Schritt 5.5.5.6.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 ((x + 1) (x - 1)) + 3 (C x)$ heraus.

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 ((x + 1) (x - 1) + C x)}{x}} + 1}$

Schritt 5.5.5.6.2

Multipliziere $(x + 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.5.5.6.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x (x - 1) + 1 (x - 1) + C x)}{x}} + 1}$

Schritt 5.5.5.6.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) + C x)}{x}} + 1}$

Schritt 5.5.5.6.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 + C x)}{x}} + 1}$

Schritt 5.5.5.6.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.5.5.6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.5.6.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 + C x)}{x}} + 1}$

Schritt 5.5.5.6.3.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 + C x)}{x}} + 1}$

Schritt 5.5.5.6.3.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 + C x)}{x}} + 1}$

Schritt 5.5.5.6.3.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 + C x)}{x}} + 1}$

Schritt 5.5.5.6.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} - x + x - 1 + C x)}{x}} + 1}$

Schritt 5.5.5.6.3.2

Addiere $- x$ und $x$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} + 0 - 1 + C x)}{x}} + 1}$

Schritt 5.5.5.6.3.3

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} - 1 + C x)}{x}} + 1}$