Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 3 x + 2 y$

Schritt 1

Subtrahiere $2 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} - 2 y = 3 x$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = - 2$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int - 2 d x}$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{- 2 x + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- 2 x}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- 2 x}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 2 x} (- 2 y) = e^{- 2 x} (3 x)$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = e^{- 2 x} (3 x)$

Schritt 3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = 3 e^{- 2 x} x$

Schritt 3.4

Stelle die Faktoren in $e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = 3 e^{- 2 x} x$ um.

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 y e^{- 2 x} = 3 x e^{- 2 x}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{- 2 x} y] = 3 x e^{- 2 x}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 2 x} y] d x = \int 3 x e^{- 2 x} d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$e^{- 2 x} y = \int 3 x e^{- 2 x} d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$e^{- 2 x} y = 3 \int x e^{- 2 x} d x$

Schritt 7.2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (x (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Schritt 7.3

Vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Kombiniere $e^{- 2 x}$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (x (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Schritt 7.3.2

Kombiniere $x$ und $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Schritt 7.3.3

Kombiniere $e^{- 2 x}$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Schritt 7.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - - \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Schritt 7.5

Vereinfache.

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Schritt 7.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + 1 \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Schritt 7.5.2

Mutltipliziere $\int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$ mit $1$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Schritt 7.6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

Schritt 7.7

Sei $u = - 2 x$ . Dann ist $d u = - 2 d x$ , folglich $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 7.7.1

Es sei $u = - 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 7.7.1.1

Differenziere $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 7.7.1.2

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7.7.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Schritt 7.7.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2$

Schritt 7.7.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u)$

Schritt 7.8

Vereinfache.

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Schritt 7.8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u)$

Schritt 7.8.2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{2} d u)$

Schritt 7.9

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{2} d u))$

Schritt 7.10

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)))$

Schritt 7.11

Vereinfache.

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Schritt 7.11.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Schritt 7.11.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Schritt 7.12

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

Schritt 7.13

Vereinfache.

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Schritt 7.13.1

Schreibe $3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ als $3 (- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ um.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Schritt 7.13.2

Vereinfache.

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Schritt 7.13.2.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Schritt 7.13.2.2

Kombiniere $e^{- 2 x}$ und $\frac{x}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Schritt 7.13.2.3

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{u}}{4}) + C$

Schritt 7.14

Ersetze alle $u$ durch $- 2 x$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Schritt 7.15

Stelle die Terme um.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{1}{2} e^{- 2 x} x - \frac{1}{4} e^{- 2 x}) + C$

Schritt 8

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

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Schritt 8.1.1

Kombiniere $e^{- 2 x}$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{e^{- 2 x}}{2} \cdot x - \frac{1}{4} \cdot e^{- 2 x}) + C$

Schritt 8.1.2

Kombiniere $x$ und $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} \cdot e^{- 2 x}) + C$

Schritt 8.1.3

Kombiniere $e^{- 2 x}$ und $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Schritt 8.2

Teile jeden Ausdruck in $e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$ durch $e^{- 2 x}$ und vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$ durch $e^{- 2 x}$ .

$\frac{e^{- 2 x} y}{e^{- 2 x}} = \frac{3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4})}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- 2 x}$ .

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Schritt 8.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{- 2 x} y}{e^{- 2 x}} = \frac{3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4})}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4})}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2}) + 3 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.2.2

Multipliziere $3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2})$ .

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Schritt 8.2.3.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$y = \frac{- 3 \frac{x e^{- 2 x}}{2} + 3 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.2.2.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{x e^{- 2 x}}{2}$ .

$y = \frac{\frac{- 3 (x e^{- 2 x})}{2} + 3 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.2.3

Multipliziere $3 (- \frac{e^{- 2 x}}{4})$ .

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Schritt 8.2.3.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$y = \frac{\frac{- 3 (x e^{- 2 x})}{2} - 3 \frac{e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.2.3.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{e^{- 2 x}}{4}$ .

$y = \frac{\frac{- 3 (x e^{- 2 x})}{2} + \frac{- 3 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.3.2.4.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{- \frac{3 x e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 3 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.2.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{- \frac{3 x e^{- 2 x}}{2} - \frac{3 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.2.5

Um $- \frac{3 x e^{- 2 x}}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{- \frac{3 x e^{- 2 x}}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.2.6

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 8.2.3.2.6.1

Mutltipliziere $\frac{3 x e^{- 2 x}}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{- \frac{3 x e^{- 2 x} \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{3 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{- \frac{3 x e^{- 2 x} \cdot 2}{4} - \frac{3 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{\frac{- 3 x e^{- 2 x} \cdot 2 - 3 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.2.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.3.2.8.1

Faktorisiere $3 e^{- 2 x}$ aus $- 3 x e^{- 2 x} \cdot 2 - 3 e^{- 2 x}$ heraus.

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Schritt 8.2.3.2.8.1.1

Faktorisiere $3 e^{- 2 x}$ aus $- 3 x e^{- 2 x} \cdot 2$ heraus.

$y = \frac{\frac{3 e^{- 2 x} (- x \cdot 2) - 3 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.2.8.1.2

Faktorisiere $3 e^{- 2 x}$ aus $- 3 e^{- 2 x}$ heraus.

$y = \frac{\frac{3 e^{- 2 x} (- x \cdot 2) + 3 e^{- 2 x} (- 1)}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.2.8.1.3

Faktorisiere $3 e^{- 2 x}$ aus $3 e^{- 2 x} (- x \cdot 2) + 3 e^{- 2 x} (- 1)$ heraus.

$y = \frac{\frac{3 e^{- 2 x} (- x \cdot 2 - 1)}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.2.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = \frac{\frac{3 e^{- 2 x} (- 2 x - 1)}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.2.9

Um $C$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{3 e^{- 2 x} (- 2 x - 1)}{4} + C \cdot \frac{4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.2.10

Kombiniere $C$ und $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{3 e^{- 2 x} (- 2 x - 1)}{4} + \frac{C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.2.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{\frac{3 e^{- 2 x} (- 2 x - 1) + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.2.12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.3.2.12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{\frac{3 e^{- 2 x} (- 2 x) + 3 e^{- 2 x} \cdot - 1 + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.2.12.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{\frac{3 \cdot - 2 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x} \cdot - 1 + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.2.12.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$y = \frac{\frac{3 \cdot - 2 e^{- 2 x} x - 3 e^{- 2 x} + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.2.12.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$y = \frac{\frac{- 6 e^{- 2 x} x - 3 e^{- 2 x} + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.2.12.5

Bringe $4$ auf die linke Seite von $C$ .

$y = \frac{\frac{- 6 e^{- 2 x} x - 3 e^{- 2 x} + 4 C}{4}}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = \frac{- 6 e^{- 2 x} x - 3 e^{- 2 x} + 4 C}{4} \cdot \frac{1}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.4

Mutltipliziere $\frac{- 6 e^{- 2 x} x - 3 e^{- 2 x} + 4 C}{4}$ mit $\frac{1}{e^{- 2 x}}$ .

$y = \frac{- 6 e^{- 2 x} x - 3 e^{- 2 x} + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 6 e^{- 2 x} x$ heraus.

$y = \frac{- (6 e^{- 2 x} x) - 3 e^{- 2 x} + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 e^{- 2 x}$ heraus.

$y = \frac{- (6 e^{- 2 x} x) - (3 e^{- 2 x}) + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (6 e^{- 2 x} x) - (3 e^{- 2 x})$ heraus.

$y = \frac{- (6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x}) + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.8

Faktorisiere $- 1$ aus $4 C$ heraus.

$y = \frac{- (6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x}) - (- 4 C)}{4 e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x}) - (- 4 C)$ heraus.

$y = \frac{- (6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x} - 4 C)}{4 e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.2.3.10.1

Schreibe $- (6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x} - 4 C)$ als $- 1 (6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x} - 4 C)$ um.

$y = \frac{- 1 (6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x} - 4 C)}{4 e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.10.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x} - 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.10.3

Stelle die Faktoren in $- \frac{6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x} - 4 C}{4 e^{- 2 x}}$ um.

$y = - \frac{6 x e^{- 2 x} + 3 e^{- 2 x} - 4 C}{4 e^{- 2 x}}$