Analysis Beispiele

$\ln (x) \frac{d x}{d y} = \frac{x}{y}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} (\ln (x) \frac{d x}{d y}) = \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{y}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x} (\ln (x) \frac{d x}{d y}) = \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{y}$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x} (\ln (x) \frac{d x}{d y}) = \frac{1}{y}$

Schritt 1.3

Entferne unnötige Klammern.

$\frac{1}{x} \ln (x) \frac{d x}{d y} = \frac{1}{y}$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{x} \ln (x) d x = \frac{1}{y} d y$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{x} \ln (x) d x = \int \frac{1}{y} d y$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $\ln (x)$ .

$\int \frac{\ln (x)}{x} d x = \int \frac{1}{y} d y$

Schritt 2.2.2

Sei $u = \ln (x)$ . Dann ist $d u = \frac{1}{x} d x$ , folglich $x d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.2.1

Es sei $u = \ln (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Differenziere $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 2.2.2.1.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Schritt 2.2.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int u d u = \int \frac{1}{y} d y$

Schritt 2.2.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u$ nach $u$ gleich $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y$

Schritt 2.2.4

Ersetze alle $u$ durch $\ln (x)$ .

$\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y$

Schritt 2.3

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C_{1} = \ln (| y |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\frac{1}{2} \ln^{2} (x) = \ln (| y |) + C$