Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{x} i$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = \frac{\sqrt{x}}{x} i d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int \frac{\sqrt{x}}{x} i d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int \frac{\sqrt{x}}{x} i d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Kombiniere $\frac{\sqrt{x}}{x}$ und $i$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sqrt{x} i}{x} d x$

Schritt 2.3.2

Da $i$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $i$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = i \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Schritt 2.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y + C_{1} = i \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} d x$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.2.1

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$y + C_{1} = i \int \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Schritt 2.3.3.2.2

Multipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.3.2.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.3.3.2.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y + C_{1} = i \int \frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Schritt 2.3.3.2.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y + C_{1} = i \int \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x$

Schritt 2.3.3.2.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$y + C_{1} = i \int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

Schritt 2.3.3.2.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y + C_{1} = i \int \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x$

Schritt 2.3.3.2.2.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$y + C_{1} = i \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 2.3.3.3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.3.3.3.1

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$y + C_{1} = i \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Schritt 2.3.3.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.3.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = i \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Schritt 2.3.3.3.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$y + C_{1} = i \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Schritt 2.3.3.3.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y + C_{1} = i \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 2.3.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = i (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.5.1

Schreibe $i (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ als $i \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ um.

$y + C_{1} = i \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.5.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$y + C_{1} = 2 i x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = 2 i x^{\frac{1}{2}} + K$