Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 2 x y - x$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x y - x$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = x (2 y) - x$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- x$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = x (2 y) + x \cdot - 1$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x (2 y) + x \cdot - 1$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = x (2 y - 1)$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{2 y - 1}$ .

$\frac{1}{2 y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y - 1} (x (2 y - 1))$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 y - 1$ .

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $2 y - 1$ aus $x (2 y - 1)$ heraus.

$\frac{1}{2 y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y - 1} ((2 y - 1) x)$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2 y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y - 1} ((2 y - 1) x)$

Schritt 1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2 y - 1} \frac{d y}{d x} = x$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{2 y - 1} d y = x d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{2 y - 1} d y = \int x d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u = 2 y - 1$ . Dann ist $d u = 2 d y$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u = 2 y - 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $2 y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [2 y - 1]$

Schritt 2.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 y - 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.2.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 y$ nach $y$ gleich $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.2.1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.2.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.2.1.1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 2.2.1.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int x d x$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int x d x$

Schritt 2.2.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int x d x$

Schritt 2.2.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int x d x$

Schritt 2.2.4

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int x d x$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int x d x$

Schritt 2.2.6

Ersetze alle $u$ durch $2 y - 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 1 |) + C_{1} = \int x d x$

Schritt 2.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 1 |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 1 |)) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 1 |))$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\ln (| 2 y - 1 |)$ .

$2 \frac{\ln (| 2 y - 1 |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{\ln (| 2 y - 1 |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| 2 y - 1 |) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\ln (| 2 y - 1 |) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C)$

Schritt 3.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| 2 y - 1 |) = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 C$

Schritt 3.2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| 2 y - 1 |) = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 C$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| 2 y - 1 |) = x^{2} + 2 C$

Schritt 3.3

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| 2 y - 1 |)} = e^{x^{2} + 2 C}$

Schritt 3.4

Schreibe $\ln (| 2 y - 1 |) = x^{2} + 2 C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{x^{2} + 2 C} = | 2 y - 1 |$

Schritt 3.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.1

Schreibe die Gleichung als $| 2 y - 1 | = e^{x^{2} + 2 C}$ um.

$| 2 y - 1 | = e^{x^{2} + 2 C}$

Schritt 3.5.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$2 y - 1 = \pm e^{x^{2} + 2 C}$

Schritt 3.5.3

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 y = \pm e^{x^{2} + 2 C} + 1$

Schritt 3.5.4

Teile jeden Ausdruck in $2 y = \pm e^{x^{2} + 2 C} + 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = \pm e^{x^{2} + 2 C} + 1$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm e^{x^{2} + 2 C}}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 3.5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm e^{x^{2} + 2 C}}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 3.5.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\pm e^{x^{2} + 2 C}}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 3.5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{\pm e^{x^{2} + 2 C} + 1}{2}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\pm e^{x^{2} + C} + 1}{2}$

Schritt 4.2

Schreibe $e^{x^{2} + C}$ als $e^{x^{2}} e^{C}$ um.

$y = \frac{\pm e^{x^{2}} e^{C} + 1}{2}$

Schritt 4.3

Stelle $e^{x^{2}}$ und $e^{C}$ um.

$y = \frac{\pm e^{C} e^{x^{2}} + 1}{2}$

Schritt 4.4

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = \frac{C e^{x^{2}} + 1}{2}$