Analysis Beispiele

$(2 x + 3) d x + (x^{2} - 1) d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $(2 x + 3) d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$(x^{2} - 1) d y = - (2 x + 3) d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{1}{x^{2} - 1} (x^{2} - 1) d y = \frac{1}{x^{2} - 1} (- (2 x + 3)) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} - 1$ .

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x^{2} - 1} (x^{2} - 1) d y = \frac{1}{x^{2} - 1} (- (2 x + 3)) d x$

Schritt 3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 d y = \frac{1}{x^{2} - 1} (- (2 x + 3)) d x$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$1 d y = - \frac{1}{x^{2} - 1} (2 x + 3) d x$

Schritt 3.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.3.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$1 d y = - \frac{1}{x^{2} - 1^{2}} (2 x + 3) d x$

Schritt 3.3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$1 d y = - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} (2 x + 3) d x$

Schritt 3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$1 d y = (- \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} (2 x) - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} \cdot 3) d x$

Schritt 3.5

Multipliziere $- \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} (2 x)$ .

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Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$1 d y = (- 2 \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} x - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} \cdot 3) d x$

Schritt 3.5.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$ .

$1 d y = (\frac{- 2}{(x + 1) (x - 1)} x - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} \cdot 3) d x$

Schritt 3.5.3

Kombiniere $\frac{- 2}{(x + 1) (x - 1)}$ und $x$ .

$1 d y = (\frac{- 2 x}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} \cdot 3) d x$

Schritt 3.6

Multipliziere $- \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} \cdot 3$ .

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Schritt 3.6.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$1 d y = (\frac{- 2 x}{(x + 1) (x - 1)} - 3 \frac{1}{(x + 1) (x - 1)}) d x$

Schritt 3.6.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$ .

$1 d y = (\frac{- 2 x}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- 3}{(x + 1) (x - 1)}) d x$

Schritt 3.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1 d y = (- \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- 3}{(x + 1) (x - 1)}) d x$

Schritt 3.7.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1 d y = (- \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)}) d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int - \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Schritt 4.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int - \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int - \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} d x + \int - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Schritt 4.3.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - \int \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} d x + \int - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Schritt 4.3.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - (2 \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x) + \int - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Schritt 4.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y + C_{1} = - 2 \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x + \int - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Schritt 4.3.5

Sei $u_{1} = (x + 1) (x - 1)$ . Dann ist $d u_{1} = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 4.3.5.1

Es sei $u_{1} = (x + 1) (x - 1)$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 4.3.5.1.1

Differenziere $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]$

Schritt 4.3.5.1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x + 1$ und $g (x) = x - 1$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 4.3.5.1.3

Differenziere.

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Schritt 4.3.5.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 4.3.5.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 4.3.5.1.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 4.3.5.1.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.5.1.3.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$(x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 4.3.5.1.3.4.2

Mutltipliziere $x + 1$ mit $1$ .

$x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 4.3.5.1.3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 4.3.5.1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 4.3.5.1.3.7

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x + 1 + (x - 1) (1 + 0)$

Schritt 4.3.5.1.3.8

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 4.3.5.1.3.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$x + 1 + (x - 1) \cdot 1$

Schritt 4.3.5.1.3.8.2

Mutltipliziere $x - 1$ mit $1$ .

$x + 1 + x - 1$

Schritt 4.3.5.1.3.8.3

Addiere $x$ und $x$ .

$2 x + 1 - 1$

Schritt 4.3.5.1.3.8.4

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 4.3.5.1.3.8.4.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$2 x + 0$

Schritt 4.3.5.1.3.8.4.2

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 4.3.5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$y + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} + \int - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Schritt 4.3.6

Vereinfache.

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Schritt 4.3.6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{1}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} + \int - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Schritt 4.3.6.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u_{1}$ .

$y + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Schritt 4.3.7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) + \int - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Schritt 4.3.8

Vereinfache.

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Schritt 4.3.8.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 2$ .

$y + C_{1} = \frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Schritt 4.3.8.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 4.3.8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Schritt 4.3.8.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.8.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Schritt 4.3.8.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Schritt 4.3.8.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y + C_{1} = \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Schritt 4.3.8.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$y + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Schritt 4.3.9

Das Integral von $\frac{1}{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $\ln (| u_{1} |)$ .

$y + C_{1} = - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) + \int - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Schritt 4.3.10

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - \int \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Schritt 4.3.11

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - (3 \int \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} d x)$

Schritt 4.3.12

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$y + C_{1} = - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - 3 \int \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Schritt 4.3.13

Schreibe den Bruch mithilfe der Teilbruchzerlegung.

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Schritt 4.3.13.1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 4.3.13.1.1

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein $A$ .

$\frac{A}{x + 1}$

Schritt 4.3.13.1.2

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$

Schritt 4.3.13.1.3

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 4.3.13.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 4.3.13.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 4.3.13.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 4.3.13.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 4.3.13.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 4.3.13.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 4.3.13.1.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.13.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 4.3.13.1.6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = \frac{A (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 4.3.13.1.6.1.2

Dividiere $(A) (x - 1)$ durch $1$ .

$1 = (A) (x - 1) + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 4.3.13.1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 4.3.13.1.6.3

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $A$ .

$1 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 4.3.13.1.6.4

Schreibe $- 1 A$ als $- A$ um.

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 4.3.13.1.6.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 4.3.13.1.6.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 4.3.13.1.6.5.2

Dividiere $(B) (x + 1)$ durch $1$ .

$1 = A x - A + (B) (x + 1)$

Schritt 4.3.13.1.6.6

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = A x - A + B x + B \cdot 1$

Schritt 4.3.13.1.6.7

Mutltipliziere $B$ mit $1$ .

$1 = A x - A + B x + B$

Schritt 4.3.13.1.7

Bewege $- A$ .

$1 = A x + B x - A + B$

Schritt 4.3.13.2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 4.3.13.2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = A + B$

Schritt 4.3.13.2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$1 = - 1 A + B$

Schritt 4.3.13.2.3

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

Schritt 4.3.13.3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 4.3.13.3.1

Löse in $0 = A + B$ nach $A$ auf.

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Schritt 4.3.13.3.1.1

Schreibe die Gleichung als $A + B = 0$ um.

$A + B = 0$

$1 = - 1 A + B$

Schritt 4.3.13.3.1.2

Subtrahiere $B$ von beiden Seiten der Gleichung.

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

Schritt 4.3.13.3.2

Ersetze alle Vorkommen von $A$ durch $- B$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.3.13.3.2.1

Ersetze alle $A$ in $1 = - 1 A + B$ durch $- B$ .

$1 = - 1 (- B) + B$

$A = - B$

Schritt 4.3.13.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.13.3.2.2.1

Vereinfache $- 1 (- B) + B$ .

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Schritt 4.3.13.3.2.2.1.1

Multipliziere $- 1 (- B)$ .

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Schritt 4.3.13.3.2.2.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 = 1 B + B$

$A = - B$

Schritt 4.3.13.3.2.2.1.1.2

Mutltipliziere $B$ mit $1$ .

$1 = B + B$

$A = - B$

$1 = B + B$

$A = - B$

Schritt 4.3.13.3.2.2.1.2

Addiere $B$ und $B$ .

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

Schritt 4.3.13.3.3

Löse in $1 = 2 B$ nach $B$ auf.

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Schritt 4.3.13.3.3.1

Schreibe die Gleichung als $2 B = 1$ um.

$2 B = 1$

$A = - B$

Schritt 4.3.13.3.3.2

Teile jeden Ausdruck in $2 B = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.13.3.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 B = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Schritt 4.3.13.3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.13.3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.13.3.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Schritt 4.3.13.3.3.2.2.1.2

Dividiere $B$ durch $1$ .

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Schritt 4.3.13.3.4

Ersetze alle Vorkommen von $B$ durch $\frac{1}{2}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.3.13.3.4.1

Ersetze alle $B$ in $A = - B$ durch $\frac{1}{2}$ .

$A = - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

Schritt 4.3.13.3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.13.3.4.2.1

Multipliziere $- 1$ mit $\frac{1}{2}$ .

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Schritt 4.3.13.3.5

Liste alle Lösungen auf.

$A = - \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

Schritt 4.3.13.4

Ersetze jeden der Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$ durch die Werte, die für $A$ und $B$ ermittelt wurden.

$\frac{- \frac{1}{2}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Schritt 4.3.13.5

Vereinfache.

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Schritt 4.3.13.5.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Schritt 4.3.13.5.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x + 1}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{(x + 1) \cdot 2} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Schritt 4.3.13.5.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x + 1$ .

$- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Schritt 4.3.13.5.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x - 1}$

Schritt 4.3.13.5.5

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{x - 1}$ .

$y + C_{1} = - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - 3 \int - \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Schritt 4.3.14

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - 3 (\int - \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)$

Schritt 4.3.15

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - 3 (- \int \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)$

Schritt 4.3.16

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - 3 (- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 1} d x) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)$

Schritt 4.3.17

Sei $u_{2} = x + 1$ . Dann ist $d u_{2} = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 4.3.17.1

Es sei $u_{2} = x + 1$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 4.3.17.1.1

Differenziere $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 4.3.17.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.3.17.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.3.17.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 4.3.17.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 4.3.17.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$y + C_{1} = - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - 3 (- \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)$

Schritt 4.3.18

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$y + C_{1} = - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - 3 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{3}) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)$

Schritt 4.3.19

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - 3 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{3}) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x - 1} d x)$

Schritt 4.3.20

Sei $u_{3} = x - 1$ . Dann ist $d u_{3} = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u_{3}$ und $d$ $u_{3}$ .

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Schritt 4.3.20.1

Es sei $u_{3} = x - 1$ . Ermittle $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

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Schritt 4.3.20.1.1

Differenziere $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 4.3.20.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.3.20.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.3.20.1.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 4.3.20.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 4.3.20.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{3}$ und $d u_{3}$ neu.

$y + C_{1} = - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - 3 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{3}) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3})$

Schritt 4.3.21

Das Integral von $\frac{1}{u_{3}}$ nach $u_{3}$ ist $\ln (| u_{3} |)$ .

$y + C_{1} = - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - 3 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{3}) + \frac{1}{2} (\ln (| u_{3} |) + C_{4}))$

Schritt 4.3.22

Vereinfache.

$y + C_{1} = - \ln (| u_{1} |) - 3 (- \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{3} |)) + C_{5}$

Schritt 4.3.23

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 4.3.23.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $(x + 1) (x - 1)$ .

$y + C_{1} = - \ln (| (x + 1) (x - 1) |) - 3 (- \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{3} |)) + C_{5}$

Schritt 4.3.23.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x + 1$ .

$y + C_{1} = - \ln (| (x + 1) (x - 1) |) - 3 (- \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{3} |)) + C_{5}$

Schritt 4.3.23.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $x - 1$ .

$y + C_{1} = - \ln (| (x + 1) (x - 1) |) - 3 (- \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |)) + C_{5}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$y = - \ln (| (x + 1) (x - 1) |) - 3 (- \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |)) + C$