Analysis Beispiele

$2 y d x + 3 x d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $2 y d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x d y = - 2 y d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} (3 x) d y = \frac{1}{x y} (- 2 y) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 \frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 2 y) d x$

Schritt 3.2

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{3}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 2 y) d x$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x y$ heraus.

$\frac{3}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} (- 2 y) d x$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 2 y) d x$

Schritt 3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{y} d y = \frac{1}{x y} (- 2 y) d x$

Schritt 3.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{3}{y} d y = - 2 \frac{1}{x y} y d x$

Schritt 3.5

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 2}{x y} y d x$

Schritt 3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.6.1

Faktorisiere $y$ aus $x y$ heraus.

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 2}{y x} y d x$

Schritt 3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 2}{y x} y d x$

Schritt 3.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 2}{x} d x$

Schritt 3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{3}{y} d y = - \frac{2}{x} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{3}{y} d y = \int - \frac{2}{x} d x$

Schritt 4.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{2}{x} d x$

Schritt 4.2.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$3 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{2}{x} d x$

Schritt 4.2.3

Vereinfache.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{2}{x} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{2}{x} d x$

Schritt 4.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - (2 \int \frac{1}{x} d x)$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.3.4

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\ln (| x |) + C_{2})$

Schritt 4.3.5

Vereinfache.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - 2 \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$3 \ln (| y |) = - 2 \ln (| x |) + C$

Schritt 5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$3 \ln (| y |) + 2 \ln (| x |) = C$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $3 \ln (| y |) + 2 \ln (| x |)$ .

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1.1

Vereinfache $3 \ln (| y |)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln ({| y |}^{3}) + 2 \ln (| x |) = C$

Schritt 5.2.1.1.2

Vereinfache $2 \ln (| x |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln ({| y |}^{3}) + \ln ({| x |}^{2}) = C$

Schritt 5.2.1.1.3

Entferne den Absolutwert in ${| x |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$\ln ({| y |}^{3}) + \ln (x^{2}) = C$

Schritt 5.2.1.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({| y |}^{3} x^{2}) = C$

Schritt 5.2.1.3

Stelle die Faktoren in $\ln ({| y |}^{3} x^{2})$ um.

$\ln (x^{2} {| y |}^{3}) = C$

Schritt 5.3

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (x^{2} {| y |}^{3})} = e^{C}$

Schritt 5.4

Schreibe $\ln (x^{2} {| y |}^{3}) = C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{C} = x^{2} {| y |}^{3}$

Schritt 5.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.5.1

Schreibe die Gleichung als $x^{2} {| y |}^{3} = e^{C}$ um.

$x^{2} {| y |}^{3} = e^{C}$

Schritt 5.5.2

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} {| y |}^{3} = e^{C}$ durch $x^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} {| y |}^{3} = e^{C}$ durch $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} {| y |}^{3}}{x^{2}} = \frac{e^{C}}{x^{2}}$

Schritt 5.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 5.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} {| y |}^{3}}{x^{2}} = \frac{e^{C}}{x^{2}}$

Schritt 5.5.2.2.1.2

Dividiere ${| y |}^{3}$ durch $1$ .

${| y |}^{3} = \frac{e^{C}}{x^{2}}$

Schritt 5.5.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$| y | = \sqrt[3]{\frac{e^{C}}{x^{2}}}$

Schritt 5.5.4

Vereinfache $\sqrt[3]{\frac{e^{C}}{x^{2}}}$ .

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Schritt 5.5.4.1

Schreibe $\sqrt[3]{\frac{e^{C}}{x^{2}}}$ als $\frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ um.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Schritt 5.5.4.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

Schritt 5.5.4.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.5.4.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{\sqrt[3]{x^{2}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

Schritt 5.5.4.3.2

Potenziere $\sqrt[3]{x^{2}}$ mit $1$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{1} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

Schritt 5.5.4.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{1 + 2}}$

Schritt 5.5.4.3.4

Addiere $1$ und $2$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{3}}$

Schritt 5.5.4.3.5

Schreibe ${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3}$ als $x^{2}$ um.

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Schritt 5.5.4.3.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x^{2}}$ als $x^{\frac{2}{3}}$ neu zu schreiben.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{3}}$

Schritt 5.5.4.3.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2}{3} \cdot 3}}$

Schritt 5.5.4.3.5.3

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $3$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2 \cdot 3}{3}}}$

Schritt 5.5.4.3.5.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{6}{3}}}$

Schritt 5.5.4.3.5.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $3$ .

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Schritt 5.5.4.3.5.5.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{3}}}$

Schritt 5.5.4.3.5.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.5.4.3.5.5.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{3 (1)}}}$

Schritt 5.5.4.3.5.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}}}$

Schritt 5.5.4.3.5.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2}{1}}}$

Schritt 5.5.4.3.5.5.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 5.5.4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.5.4.4.1

Schreibe ${\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}$ als $\sqrt[3]{{(x^{2})}^{2}}$ um.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} \sqrt[3]{{(x^{2})}^{2}}}{x^{2}}$

Schritt 5.5.4.4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 5.5.4.4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} \sqrt[3]{x^{2 \cdot 2}}}{x^{2}}$

Schritt 5.5.4.4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} \sqrt[3]{x^{4}}}{x^{2}}$

Schritt 5.5.4.4.3

Faktorisiere $x^{3}$ aus.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} \sqrt[3]{x^{3} x}}{x^{2}}$

Schritt 5.5.4.4.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} x \sqrt[3]{x}}{x^{2}}$

Schritt 5.5.4.4.5

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$| y | = \frac{x \sqrt[3]{e^{C} x}}{x^{2}}$

Schritt 5.5.4.5

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.5.4.5.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 5.5.4.5.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x \sqrt[3]{e^{C} x}$ heraus.

$| y | = \frac{x \sqrt[3]{e^{C} x}}{x^{2}}$

Schritt 5.5.4.5.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.5.4.5.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$| y | = \frac{x \sqrt[3]{e^{C} x}}{x \cdot x}$

Schritt 5.5.4.5.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$| y | = \frac{x \sqrt[3]{e^{C} x}}{x \cdot x}$

Schritt 5.5.4.5.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C} x}}{x}$

Schritt 5.5.4.5.2

Stelle die Faktoren in $\frac{\sqrt[3]{e^{C} x}}{x}$ um.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{x e^{C}}}{x}$

Schritt 5.5.5

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[3]{x e^{C}}}{x}$

Schritt 6

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \pm \frac{\sqrt[3]{x C}}{x}$