Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = x^{3}$ , $y (- 1) = 2$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = x^{3} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int x^{3} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int x^{3} d x$

Schritt 2.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = \frac{1}{4} x^{4} + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $- 1$ für $x$ und $2$ für $y$ in $y = \frac{1}{4} x^{4} + K$ ersetzt wird.

$2 = \frac{1}{4} {(- 1)}^{4} + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{4} \cdot {(- 1)}^{4} + K = 2$ um.

$\frac{1}{4} \cdot {(- 1)}^{4} + K = 2$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{1}{4} \cdot 1 + K = 2$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} + K = 2$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Subtrahiere $\frac{1}{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$K = 2 - \frac{1}{4}$

Schritt 4.3.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$K = 2 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}$

Schritt 4.3.3

Kombiniere $2$ und $\frac{4}{4}$ .

$K = \frac{2 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}$

Schritt 4.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$K = \frac{2 \cdot 4 - 1}{4}$

Schritt 4.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$K = \frac{8 - 1}{4}$

Schritt 4.3.5.2

Subtrahiere $1$ von $8$ .

$K = \frac{7}{4}$

Schritt 5

Setze $\frac{7}{4}$ für $K$ in $y = \frac{1}{4} x^{4} + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $\frac{7}{4}$ .

$y = \frac{1}{4} x^{4} + \frac{7}{4}$

Schritt 5.2

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{7}{4}$