Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = \frac{1}{x}$ gilt.

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Schritt 1.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 1.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Schritt 1.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{\ln (x)}$

Schritt 1.4

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$x$

Schritt 2

Multipliziere jeden Ausdruck mit $x$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x (\frac{1}{x} y) = x \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $y$ .

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x \frac{d y}{d x} + y = x \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$x \frac{d y}{d x} + y = x \frac{1}{x \cdot x}$

Schritt 2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x \frac{d y}{d x} + y = x \frac{1}{x \cdot x}$

Schritt 2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$x \frac{d y}{d x} + y = \frac{1}{x}$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [x y] = \frac{1}{x}$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$x y = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$x y = \ln (| x |) + C$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $x y = \ln (| x |) + C$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $x y = \ln (| x |) + C$ durch $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{\ln (| x |)}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y}{x} = \frac{\ln (| x |)}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (| x |)}{x} + \frac{C}{x}$